Quelle écriture est correcte pour la distributivité ?

k × (a + b) = (k + a) × (k + b)

L'affirmation « multiplier rend toujours plus grand » est :

fausse, par exemple 0,5 × 0,5 = 0,25

vraie seulement pour les nombres à virgule

Tout nombre entier est-il un nombre décimal ?

oui, sa partie décimale est nulle

non, un décimal a forcément une virgule

seulement si le nombre est pair

La soustraction est-elle commutative ?

oui, mais seulement avec des décimaux

Les opérations sur les nombres décimaux

Q: Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une partie entière, une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 12,5 ou 3,074. Tout nombre entier est aussi un nombre décimal, puisqu'il suffit de lui donner une partie décimale nulle : 8 = 8,0.

Q: Dans quel ordre effectuer les opérations d'un calcul ?

On effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures, puis les multiplications et les divisions de gauche à droite, et enfin les additions et les soustractions de gauche à droite. C'est pour cela que 5 + 3 × 4 vaut 17 et non 32.

Q: Pourquoi 7,4 est-il plus grand que 7,38 ?

Parce qu'on ne compare pas le nombre de chiffres après la virgule, mais leur valeur rang par rang. Les parties entières sont égales, et en écrivant 7,4 = 7,40 on compare les dixièmes : 4 > 3, donc 7,4 > 7,38.

Q: Comment placer la virgule dans une multiplication de décimaux ?

On effectue d'abord la multiplication en ignorant les virgules, comme avec des entiers. On compte ensuite le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs, et on place la virgule pour que le résultat en ait exactement autant. Ainsi 1,2 × 0,3 donne 36 puis 0,36.

Q: Quelle est la différence entre le quotient d'une division euclidienne et un quotient décimal ?

Le quotient de la division euclidienne est un entier, accompagné d'un reste : 47 = 6 × 7 + 5. Le quotient décimal poursuit la division après la virgule : 47 ÷ 6 vaut environ 7,83. Le premier répond à « combien de parts entières ? », le second à « quelle est la valeur exacte du partage ? ».

Q: À quoi sert l'ordre de grandeur si on doit quand même poser le calcul ?

Il sert à contrôler le résultat, pas à le remplacer. En remplaçant 2,7 par 3 et 4,1 par 4, on sait immédiatement que le produit doit valoir environ 12 : un résultat de 110,7 signale alors une virgule mal placée, avant même de refaire le calcul.

Q: Comment poser une addition de nombres décimaux ?

On écrit les deux nombres l'un sous l'autre en alignant les virgules, ce qui place les unités sous les unités et les dixièmes sous les dixièmes. On complète si besoin avec des zéros pour que les deux nombres aient autant de chiffres après la virgule, on calcule comme avec des entiers, puis on descend la virgule dans le résultat : 12,50 + 3,75 = 16,25.

Q: Comment multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1000 ?

On déplace la virgule vers la droite de 1, 2 ou 3 rangs : 3,25 × 10 = 32,5 et 3,25 × 100 = 325. Pour diviser par 10, 100 ou 1000, on déplace la virgule du même nombre de rangs vers la gauche : 45,8 ÷ 10 = 4,58.

Q: Comment arrondir un nombre décimal au dixième ?

On regarde le chiffre placé juste après le rang des dixièmes, c'est-à-dire le chiffre des centièmes. S'il vaut 5 ou plus, on augmente le chiffre des dixièmes de 1 ; sinon on le laisse tel quel. L'arrondi de 3,748 au dixième est donc 3,7, car le chiffre des centièmes est 4.

Q: Peut-on supprimer les zéros d'un nombre décimal ?

Seulement ceux placés à la fin de la partie décimale ou devant la partie entière : 3,50 = 3,5 et 07,2 = 7,2. Un zéro situé entre la virgule et les autres chiffres, lui, change le nombre : 3,05 vaut trois unités et cinq centièmes, soit dix fois moins que les cinq dixièmes de 3,5.

Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec une virgule et un nombre fini de chiffres après cette virgule, comme $12,5$ ou $3,074$ . Ce chapitre reprend les quatre opérations sur ces nombres, fixe l'ordre dans lequel il faut les effectuer quand elles se suivent dans un même calcul, et montre comment la distributivité permet de calculer de tête ce qu'on croyait devoir poser.

Mis à jour le 21 août 2026

Je retiens

Un nombre décimal s'écrit avec une partie entière, une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule ; tout entier est un décimal, donc $N \subset D$ .
Pour comparer deux décimaux, on compare d'abord les parties entières, puis les dixièmes, puis les centièmes : le nombre qui a le plus de décimales n'est pas forcément le plus grand.
Pour additionner ou soustraire, on aligne les virgules ; pour multiplier, on calcule sans les virgules puis on en place une en comptant le nombre total de décimales des deux facteurs.
La division euclidienne de $a$ par $b$ donne un quotient $q$ et un reste $r$ tels que $a = b \times q + r$ avec $0 ⩽ r < b$ . On ne divise jamais par $0$ .
Dans un calcul, on effectue d'abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions, chaque fois de gauche à droite.
La distributivité s'écrit $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ : c'est elle qui permet de calculer $99 \times 7$ de tête, sous la forme $700 - 7 = 693$ .
Un ordre de grandeur ne remplace pas un calcul, il le contrôle : si $2,7 \times 4,1$ vaut environ $12$ , un résultat de $110,7$ est forcément faux.

Carte de la leçon sur les opérations sur les nombres décimaux en 1AC : un tableau de colonnes de numération vides traversé par un trait vertical, posé sur des panneaux superposés et un dégradé bleu. — Le tableau tracé sur cette carte est celui de la numération : poser une addition ou une soustraction de nombres décimaux revient à aligner les virgules, donc à ranger chaque chiffre dans sa colonne. Programme de 1AC, semestre 1.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Lire, écrire et décomposer un nombre décimal
Comparer, ranger et encadrer des nombres décimaux
Poser et effectuer une addition, une soustraction, une multiplication et une division de décimaux
Appliquer les règles de priorité dans un calcul qui mélange plusieurs opérations
Utiliser la distributivité pour calculer plus vite
Donner une valeur approchée, un arrondi et un ordre de grandeur

PrérequisLes quatre opérations sur les entiers, vues au primaire · Les tables de multiplication · Le vocabulaire somme, différence, produit, quotient

Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Tous les nombres que l'on rencontre au quotidien ne sont pas entiers : un prix de $12,50$ DH, une taille de $1,67$ m, une température de $24,3$ degrés. Ces nombres s'écrivent avec une virgule, et ce sont eux qu'on appelle des nombres décimaux.

Définition

Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une partie entière, une virgule, puis une partie décimale comportant un nombre fini de chiffres. Par exemple $3,25$ , $0,7$ et $148,069$ sont des nombres décimaux.

Dans le nombre $47,308$ , la partie entière est $47$ et la partie décimale est $308$ . On lit « quarante-sept virgule trois cent huit », ou « quarante-sept unités et trois cent huit millièmes ».

Centaines	Dizaines	Unités	,	Dixièmes	Centièmes	Millièmes
2	4	5	,	0	7	3

Le nombre

245,073

dans le tableau de numération : chaque chiffre a une valeur qui dépend de sa position.

Ce tableau se lit de deux manières. Chaque chiffre a une position (le $7$ est le chiffre des centièmes) et une valeur dans le nombre (ce même $7$ vaut $7$ centièmes, soit $0,07$ ).

La valeur d'un chiffre dépend de sa position. Dans un nombre décimal, chaque chiffre a une valeur qui dépend de sa position : dans 245,073, le 4 vaut 40 et le 7 vaut 7 centièmes, c'est-à-dire 0,07.

Décomposer un nombre décimal

Décomposer $245,073$ .

Décomposition en unités de numération : $245,073 = 200 + 40 + 5 + 0,07 + 0,003$ .
Décomposition avec des fractions décimales : $245,073 = 245 + \frac{7}{100} + \frac{3}{1000}$ .
Le chiffre des dixièmes est $0$ , celui des centièmes est $7$ , celui des millièmes est $3$ .

Propriété

Les zéros inutiles

On peut ajouter ou supprimer des zéros à la fin de la partie décimale sans changer le nombre : $3,5 = 3,50 = 3,500$ . De même, on peut supprimer les zéros placés devant la partie entière : $07,2 = 7,2$ .

Attention

Un zéro entre la virgule et les autres chiffres, lui, change tout : $3,05$ et $3,5$ sont deux nombres différents. $3,05$ vaut trois unités et cinq centièmes, alors que $3,5$ vaut trois unités et cinq dixièmes, c'est-à-dire dix fois plus.

Tout nombre entier est un nombre décimal : il suffit de lui donner une partie décimale nulle, $8 = 8,0$ . On écrit donc $N \subset D$ : l'ensemble $N$ des entiers naturels est contenu dans l'ensemble $D$ des décimaux.

Comment comparer et ranger des nombres décimaux ?

Méthode

Comparer deux nombres décimaux

Comparer d'abord les parties entières : le nombre qui a la plus grande partie entière est le plus grand.
Si les parties entières sont égales, comparer les chiffres des dixièmes, puis ceux des centièmes, puis ceux des millièmes, jusqu'à trouver une différence.
Au besoin, compléter la partie décimale la plus courte avec des zéros pour que les deux nombres aient autant de chiffres après la virgule.

Exemple guidé

Comparer $7,4$ et $7,38$ .

Les parties entières sont égales : $7 = 7$ .
On complète avec un zéro : $7,4 = 7,40$ .
On compare les dixièmes : $4 > 3$ , donc $7,4 > 7,38$ .

Attention

Le nombre qui a le plus de chiffres après la virgule n'est pas le plus grand. $7,38$ a deux décimales et $7,4$ n'en a qu'une, pourtant $7,4$ est le plus grand des deux.

Définition

Encadrer un nombre : Encadrer un nombre, c'est le placer entre deux autres nombres. Par exemple, l'encadrement de $6,47$ à l'unité près s'écrit $6 < 6,47 < 7$ , et son encadrement au dixième près s'écrit $6,4 < 6,47 < 6,5$ .

Encadrer 6,47 à l'unité puis au dixième. Encadrer un nombre, c'est le placer entre deux autres nombres : 6 < 6,47 < 7 est son encadrement à l'unité près, et 6,4 < 6,47 < 6,5 son encadrement au dixième près.

Remarque

Entre deux nombres décimaux, on peut toujours en intercaler un autre : entre $2,3$ et $2,4$ il y a $2,35$ , entre $2,3$ et $2,35$ il y a $2,31$ , et ainsi de suite indéfiniment.

L'addition et la soustraction de nombres décimaux

Méthode

Poser une addition ou une soustraction

Écrire les nombres les uns sous les autres en alignant les virgules, donc en alignant les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes.
Compléter avec des zéros pour que les deux nombres aient le même nombre de décimales.
Calculer comme avec des entiers, puis descendre la virgule dans le résultat.

Une addition posée, virgules alignées. Pour poser une addition ou une soustraction de nombres décimaux, on aligne les virgules : les unités se retrouvent alors sous les unités et les dixièmes sous les dixièmes.

Exemple guidé

Calculer $12,5 + 3,75$ puis $8,4 - 2,65$ .

On complète : $12,5 = 12,50$ . Puis $12,50 + 3,75 = 16,25$ .
On complète : $8,4 = 8,40$ . Puis $8,40 - 2,65 = 5,75$ .

Propriété

Propriétés de l'addition

L'addition est commutative : $a + b = b + a$ . Elle est aussi associative : $(a + b) + c = a + (b + c)$ . On peut donc regrouper et permuter les termes d'une somme comme on veut, ce qui permet souvent de calculer plus vite.

Regrouper pour calculer de tête

Calculer $2,7 + 4,9 + 7,3$ .

On permute pour rapprocher $2,7$ et $7,3$ , dont la somme est ronde.
$2,7 + 7,3 = 10$ , puis $10 + 4,9 = 14,9$ .

Attention

La soustraction, elle, n'est ni commutative ni associative : $8 - 3$ ne vaut pas $3 - 8$ . L'ordre des termes d'une différence ne se change jamais.

La multiplication de nombres décimaux

Méthode

Poser une multiplication

Effectuer la multiplication sans tenir compte des virgules, comme si les deux nombres étaient entiers.
Compter le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
Placer la virgule dans le résultat de façon qu'il ait exactement ce nombre de chiffres après la virgule.

Exemple guidé

Calculer $1,2 \times 0,3$ .

Sans les virgules : $12 \times 3 = 36$ .
Il y a $1$ chiffre après la virgule dans $1,2$ et $1$ chiffre dans $0,3$ , soit $2$ au total.
Le résultat porte donc $2$ chiffres après la virgule : $1,2 \times 0,3 = 0,36$ .

Contrairement à ce que l'on croit souvent, multiplier ne donne pas toujours un résultat plus grand. Multiplier par un nombre inférieur à $1$ diminue le nombre : $20 \times 0,5 = 10$ .

Propriété

Multiplier par 10, 100, 1000

Multiplier par $10$ , $100$ ou $1000$ revient à décaler la virgule vers la droite de $1$ , $2$ ou $3$ rangs. Multiplier par $0,1$ , $0,01$ ou $0,001$ revient à la décaler vers la gauche du même nombre de rangs.

Multiplier par 10 déplace la virgule. Multiplier un nombre décimal par 10 revient à déplacer sa virgule d'un rang vers la droite, et le diviser par 10 revient à la déplacer d'un rang vers la gauche.

Calcul	Résultat	Ce qui se passe
$3,25 \times 10$	$32,5$	la virgule avance de 1 rang
$3,25 \times 100$	$325$	la virgule avance de 2 rangs
$3,25 \times 0,1$	$0,325$	la virgule recule de 1 rang
$3,25 \times 0,01$	$0,0325$	la virgule recule de 2 rangs

Multiplier par

0,1

revient exactement à diviser par

10

Propriété

Propriétés de la multiplication

La multiplication est commutative ( $a \times b = b \times a$ ) et associative ( $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ ). Le nombre $1$ est son élément neutre : $a \times 1 = a$ . Enfin, tout produit contenant un facteur nul est nul : $a \times 0 = 0$ .

La division : quotient exact, quotient approché et division euclidienne

Définition

Division euclidienne : La division euclidienne d'un entier $a$ par un entier $b$ non nul consiste à trouver deux entiers $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que $a = b \times q + r$ , avec $0 ⩽ r < b$ .

a = b \times q + r avec 0 ⩽ r < b

Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur : sinon, c'est que le quotient n'est pas assez grand.

Exemple guidé

Effectuer la division euclidienne de $47$ par $6$ .

$6 \times 7 = 42$ et $6 \times 8 = 48 > 47$ : le quotient est donc $7$ .
Le reste vaut $47 - 42 = 5$ , et l'on vérifie bien que $5 < 6$ .
On écrit : $47 = 6 \times 7 + 5$ .

Quand on ne s'arrête pas au reste et qu'on continue la division après la virgule, on obtient le quotient décimal. Il est parfois exact, parfois non.

$7 \div 4 = 1,75$ : la division s'arrête, le quotient est exact.
$10 \div 3 = 3,333 \dots$ : la division ne s'arrête jamais, on donne alors une valeur approchée, par exemple $3,33$ au centième près.

Propriété

Diviser par 10, 100, 1000

Diviser par $10$ , $100$ ou $1000$ revient à décaler la virgule vers la gauche de $1$ , $2$ ou $3$ rangs : $45,8 \div 10 = 4,58$ et $45,8 \div 100 = 0,458$ .

Attention

On ne divise jamais par zéro. L'écriture $5 \div 0$ n'a aucun sens : aucun nombre multiplié par $0$ ne peut donner $5$ .

Les priorités opératoires : dans quel ordre calculer ?

Quand un calcul contient plusieurs opérations, on ne calcule pas de gauche à droite au hasard : il existe un ordre imposé, le même pour tout le monde, sans lequel un même calcul donnerait plusieurs résultats.

Propriété

Les trois règles de priorité

1. On effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures. 2. On effectue ensuite les multiplications et les divisions, de gauche à droite. 3. On effectue enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.

Deux calculs qui n'ont que les parenthèses de différent

Comparer $5 + 3 \times 4$ et $(5 + 3) \times 4$ .

Dans $5 + 3 \times 4$ , la multiplication passe avant : $3 \times 4 = 12$ , puis $5 + 12 = 17$ .
Dans $(5 + 3) \times 4$ , la parenthèse passe avant : $5 + 3 = 8$ , puis $8 \times 4 = 32$ .
Les deux résultats, $17$ et $32$ , montrent qu'une parenthèse n'est jamais décorative.

Un calcul à quatre opérations

Calculer $A = 20 - 12 \div 4 + 2 \times 3$ .

Division et multiplication d'abord : $12 \div 4 = 3$ et $2 \times 3 = 6$ .
Le calcul devient $A = 20 - 3 + 6$ .
Puis de gauche à droite : $20 - 3 = 17$ , et $17 + 6 = 23$ . Donc $A = 23$ .

L'ordre des calculs dans une expression. Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions de gauche à droite : 20 − 12 ÷ 4 + 2 × 3 vaut donc 23.

Attention

Dans $20 - 3 + 6$ , on ne calcule pas $3 + 6$ en premier. Additions et soustractions ont la même priorité : on avance strictement de gauche à droite. Calculer $20 - 9$ donnerait $11$ , une erreur classique.

La distributivité : calculer plus vite

La distributivité est la propriété qui relie la multiplication à l'addition. C'est elle qui justifie la multiplication posée, et c'est surtout l'outil de calcul mental le plus rentable du chapitre.

k \times (a + b) = k \times a + k \times b et k \times (a - b) = k \times a - k \times b

La distributivité de la multiplication sur l'addition et sur la soustraction.

Développer

Calculer $4 \times (2,5 + 7,5)$ de deux façons.

En calculant la parenthèse d'abord : $4 \times 10 = 40$ .
En distribuant : $4 \times 2,5 + 4 \times 7,5 = 10 + 30 = 40$ .
Les deux chemins donnent le même résultat, ce qui est exactement ce qu'affirme la propriété.

Méthode

Multiplier de tête par 99, 101, ou par 1,04

Remplacer le facteur « presque rond » par une somme ou une différence : $99 = 100 - 1$ , $101 = 100 + 1$ , $1,04 = 1 + 0,04$ .
Distribuer la multiplication sur les deux termes.
Effectuer les deux produits, qui sont maintenant immédiats, puis les ajouter ou les soustraire.

Trois calculs mentaux

Calculer $99 \times 7$ , $101 \times 4,5$ et $25 \times 1,04$ .

$99 \times 7 = (100 - 1) \times 7 = 700 - 7 = 693$ .
$101 \times 4,5 = (100 + 1) \times 4,5 = 450 + 4,5 = 454,5$ .
$25 \times 1,04 = 25 \times (1 + 0,04) = 25 + 1 = 26$ .

Valeur approchée, arrondi et ordre de grandeur

Définition

Arrondi : L'arrondi d'un nombre à un rang donné est la valeur approchée la plus proche à ce rang. Pour arrondir, on regarde le chiffre situé juste après le rang demandé : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente de $1$ le chiffre du rang ; sinon on le laisse tel quel.

Arrondir un nombre décimal

Arrondir $3,748$ au dixième, puis au centième.

Au dixième : le chiffre suivant est $4$ , donc on ne change rien. L'arrondi est $3,7$ .
Au centième : le chiffre suivant est $8$ , donc on augmente le $4$ d'une unité. L'arrondi est $3,75$ .

Arrondir 3,748 au dixième. Arrondir au dixième, c'est choisir le dixième le plus proche : 3,748 est situé avant le milieu 3,75, il est donc plus proche de 3,7, et son arrondi au dixième est 3,7.

Remarque

L'arrondi ne se confond pas avec la troncature, qui consiste simplement à couper les chiffres suivants sans rien changer. La troncature de $3,748$ au dixième est $3,7$ , mais celle de $3,79$ au dixième est $3,7$ alors que son arrondi est $3,8$ .

Définition

Ordre de grandeur : L'ordre de grandeur d'un calcul est le résultat approché qu'on obtient en remplaçant chaque nombre par un nombre proche et simple. Il ne sert pas à donner le résultat, mais à vérifier qu'il est plausible.

Contrôler un résultat

Un élève annonce $2,7 \times 4,1 = 110,7$ . Vérifier.

Ordre de grandeur : $2,7 \approx 3$ et $4,1 \approx 4$ , donc le produit vaut environ $3 \times 4 = 12$ .
Le résultat annoncé, $110,7$ , est environ dix fois trop grand : la virgule a été mal placée.
Le résultat correct est $11,07$ .

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une partie entière, une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule, comme

12,5

3,074

. Tout nombre entier est aussi un nombre décimal, puisqu'il suffit de lui donner une partie décimale nulle :

8 = 8,0

Dans quel ordre effectuer les opérations d'un calcul ?

On effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures, puis les multiplications et les divisions de gauche à droite, et enfin les additions et les soustractions de gauche à droite. C'est pour cela que

5 + 3 \times 4

vaut

17

et non

32

Pourquoi $7,4$ est-il plus grand que $7,38$  ?

Parce qu'on ne compare pas le nombre de chiffres après la virgule, mais leur valeur rang par rang. Les parties entières sont égales, et en écrivant

7,4 = 7,40

on compare les dixièmes :

4 > 3

, donc

7,4 > 7,38

Comment placer la virgule dans une multiplication de décimaux ?

On effectue d'abord la multiplication en ignorant les virgules, comme avec des entiers. On compte ensuite le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs, et on place la virgule pour que le résultat en ait exactement autant. Ainsi

1,2 \times 0,3

donne

36

puis

0,36

Quelle est la différence entre le quotient d'une division euclidienne et un quotient décimal ?

Le quotient de la division euclidienne est un entier, accompagné d'un reste :

47 = 6 \times 7 + 5

. Le quotient décimal poursuit la division après la virgule :

47 \div 6

vaut environ

7,83

. Le premier répond à « combien de parts entières ? », le second à « quelle est la valeur exacte du partage ? ».

À quoi sert l'ordre de grandeur si on doit quand même poser le calcul ?

Il sert à contrôler le résultat, pas à le remplacer. En remplaçant

2,7

par

3

4,1

par

4

, on sait immédiatement que le produit doit valoir environ

12

: un résultat de

110,7

signale alors une virgule mal placée, avant même de refaire le calcul.

Comment poser une addition de nombres décimaux ?

On écrit les deux nombres l'un sous l'autre en alignant les virgules, ce qui place les unités sous les unités et les dixièmes sous les dixièmes. On complète si besoin avec des zéros pour que les deux nombres aient autant de chiffres après la virgule, on calcule comme avec des entiers, puis on descend la virgule dans le résultat :

12,50 + 3,75 = 16,25

Comment multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1000 ?

On déplace la virgule vers la droite de

1

2

3

rangs :

3,25 \times 10 = 32,5

3,25 \times 100 = 325

. Pour diviser par

10

100

1000

, on déplace la virgule du même nombre de rangs vers la gauche :

45,8 \div 10 = 4,58

Comment arrondir un nombre décimal au dixième ?

On regarde le chiffre placé juste après le rang des dixièmes, c'est-à-dire le chiffre des centièmes. S'il vaut

5

ou plus, on augmente le chiffre des dixièmes de

1

 ; sinon on le laisse tel quel. L'arrondi de

3,748

au dixième est donc

3,7

, car le chiffre des centièmes est

4

Peut-on supprimer les zéros d'un nombre décimal ?

Seulement ceux placés à la fin de la partie décimale ou devant la partie entière :

3,50 = 3,5

07,2 = 7,2

. Un zéro situé entre la virgule et les autres chiffres, lui, change le nombre :

3,05

vaut trois unités et cinq centièmes, soit dix fois moins que les cinq dixièmes de

3,5

Quiz : 20 questions sur ce chapitre

20 questions tirées au hasard parmi les 40 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1Quel est le chiffre des centièmes dans le nombre $47,308$  ?

Votre note

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Le chapitre est à revoir en entier

Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.

À revoir : 20 questions manquées

Quel est le chiffre des centièmes dans le nombre $47,308$  ?
Bonne réponse $0$
Après la virgule, les rangs se suivent dans l'ordre dixièmes, centièmes, millièmes. Le chiffre des dixièmes est $3$ , celui des centièmes est $0$ et celui des millièmes est $8$ .
Quelle égalité est vraie ?
Bonne réponse $3,5 = 3,50$
Un zéro ajouté à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre. En revanche $3,05$ vaut cinq centièmes et $0,35$ est dix fois plus petit que $3,5$ .
Quel est le plus grand de ces trois nombres ?
Bonne réponse $7,4$
On compare les dixièmes : $4 > 3 > 2$ . Le nombre qui a le plus de chiffres après la virgule n'est pas le plus grand.
Combien vaut $12,5 + 3,75$  ?
Bonne réponse $16,25$
On aligne les virgules après avoir écrit $12,50$ , puis on additionne : $12,50 + 3,75 = 16,25$ .
Combien vaut $8,4 - 2,65$  ?
Bonne réponse $5,75$
On complète $8,4$ en $8,40$ , puis on soustrait : $8,40 - 2,65 = 5,75$ .
Combien vaut $1,2 \times 0,3$  ?
Bonne réponse $0,36$
$12 \times 3 = 36$ , et il y a deux chiffres après la virgule en tout dans les deux facteurs, donc le résultat est $0,36$ .
Combien vaut $3,25 \times 100$  ?
Bonne réponse $325$
Multiplier par $100$ décale la virgule de deux rangs vers la droite.
Combien vaut $45,8 \div 10$  ?
Bonne réponse $4,58$
Diviser par $10$ décale la virgule d'un rang vers la gauche.
Multiplier un nombre par $0,1$ , c'est la même chose que :
Bonne réponsele diviser par $10$
$0,1$ vaut un dixième. Multiplier par $0,1$ recule donc la virgule d'un rang, exactement comme une division par $10$ .
Combien vaut $5 + 3 \times 4$  ?
Bonne réponse $17$
La multiplication est prioritaire : $3 \times 4 = 12$ , puis $5 + 12 = 17$ . Le résultat $32$ correspondrait à $(5 + 3) \times 4$ .
Combien vaut $(5 + 3) \times 4$  ?
Bonne réponse $32$
La parenthèse se calcule d'abord : $5 + 3 = 8$ , puis $8 \times 4 = 32$ .
Combien vaut $20 - 3 + 6$  ?
Bonne réponse $23$
Addition et soustraction ont la même priorité, on avance de gauche à droite : $20 - 3 = 17$ , puis $17 + 6 = 23$ . Calculer $3 + 6$ d'abord donnerait $11$ , ce qui est faux.
Dans un calcul, que fait-on en premier ?
Bonne réponseles calculs entre parenthèses
L'ordre est : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
Dans la division euclidienne de $47$ par $6$ , que valent le quotient et le reste ?
Bonne réponsequotient $7$ et reste $5$
$6 \times 7 = 42$ et $47 - 42 = 5$ , avec $5 < 6$ . On écrit $47 = 6 \times 7 + 5$ .
Dans une division euclidienne par $9$ , quel reste est impossible ?
Bonne réponse $9$
Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur : $0 ⩽ r < 9$ . Un reste de $9$ voudrait dire que le quotient n'est pas assez grand.
Combien vaut $7 \div 4$  ?
Bonne réponse $1,75$
La division tombe juste : $7 \div 4 = 1,75$ . On vérifie par $1,75 \times 4 = 7$ .
Quelle écriture est correcte pour la distributivité ?
Bonne réponse $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$
Le facteur extérieur multiplie chacun des deux termes de la parenthèse, pas seulement le premier.
Quelle est la façon la plus rapide de calculer $99 \times 7$ de tête ?
Bonne réponse $(100 - 1) \times 7 = 700 - 7$
En écrivant $99 = 100 - 1$ , la distributivité transforme le calcul en $700 - 7 = 693$ , qui se fait de tête.
Quel est l'arrondi de $3,748$ au centième ?
Bonne réponse $3,75$
Le chiffre qui suit le rang des centièmes est $8$ , donc supérieur à $5$ : on augmente le $4$ d'une unité.
Quel est l'arrondi de $12,349$ au dixième ?
Bonne réponse $12,3$
Le chiffre après le rang des dixièmes est $4$ , donc inférieur à $5$ : le chiffre des dixièmes reste $3$ .

Exercices corrigés

30 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

On considère le nombre $305,082$ .

Donner sa partie entière et sa partie décimale.
Quel est le chiffre des centièmes ? Quel est le chiffre des dixièmes ?
Décomposer ce nombre comme une somme.

Correction

1. La partie entière est $305$ et la partie décimale est $082$ , c'est-à-dire $0,082$ .

2. Après la virgule, les chiffres sont dans l'ordre : dixièmes, centièmes, millièmes. Le chiffre des dixièmes est donc $0$ , celui des centièmes est $8$ .

3. $305,082 = 300 + 5 + 0,08 + 0,002$ .

Exercice 2

Facile

Compléter par $<$ , $>$ ou $=$ .

$5,7 \dots 5,68$
$12,30 \dots 12,3$
$0,9 \dots 0,89$
$4,06 \dots 4,6$

Correction

1. $5,7 = 5,70$ et $70 > 68$ , donc $5,7 > 5,68$ .

2. Le zéro final ne change rien : $12,30 = 12,3$ .

3. $0,9 = 0,90$ et $90 > 89$ , donc $0,9 > 0,89$ .

4. Les dixièmes valent $0$ pour le premier et $6$ pour le second, donc $4,06 < 4,6$ .

Exercice 3

Facile

Ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants : $3,5$  ; $3,05$  ; $3,55$  ; $3,4$  ; $3,45$ .

Correction

On complète toutes les parties décimales à deux chiffres : $3,50$  ; $3,05$  ; $3,55$  ; $3,40$  ; $3,45$ .

Les parties entières sont toutes égales à $3$ , on compare donc les parties décimales : $05 < 40 < 45 < 50 < 55$ .

L'ordre croissant est : $3,05 < 3,4 < 3,45 < 3,5 < 3,55$ .

Exercice 4

Facile

$14,7 + 8,56$
$23,4 - 9,75$
$0,8 + 12 + 3,25$
$100 - 37,6$

Correction

1. $14,70 + 8,56 = 23,26$ .

2. $23,40 - 9,75 = 13,65$ .

3. $0,80 + 12,00 + 3,25 = 16,05$ .

4. $100,0 - 37,6 = 62,4$ .

Exercice 5

Facile

$4,17 \times 10$
$0,035 \times 100$
$6,2 \times 1000$
$58 \times 0,1$
$7,4 \times 0,01$

Correction

1. La virgule avance d'un rang : $41,7$ .

2. Elle avance de deux rangs : $3,5$ .

3. Elle avance de trois rangs : $6200$ .

4. Multiplier par $0,1$ , c'est diviser par $10$ : $5,8$ .

5. La virgule recule de deux rangs : $0,074$ .

Exercice 6

Facile

$45,8 \div 10$
$7 \div 100$
$320 \div 1000$
$0,9 \div 10$
$1250 \div 100$

Correction

1. $4,58$ .

2. $0,07$ .

3. $0,32$ .

4. $0,09$ .

5. $12,5$ .

Exercice 7

Facile

$2,5 \times 4$
$1,2 \times 0,3$
$0,5 \times 0,5$
$6,5 \times 8$

Correction

1. $25 \times 4 = 100$ , une décimale au total : $10,0$ , soit $10$ .

2. $12 \times 3 = 36$ , deux décimales : $0,36$ .

3. $5 \times 5 = 25$ , deux décimales : $0,25$ .

4. $65 \times 8 = 520$ , une décimale : $52$ .

Exercice 8

Facile

Calculer en détaillant les étapes.

$A = 7 + 2 \times 5$
$B = 20 - 3 \times 4$
$C = 18 \div 3 + 4$
$D = 6 \times 2 - 8 \div 4$

Correction

1. $2 \times 5 = 10$ , puis $A = 7 + 10 = 17$ .

2. $3 \times 4 = 12$ , puis $B = 20 - 12 = 8$ .

3. $18 \div 3 = 6$ , puis $C = 6 + 4 = 10$ .

4. $6 \times 2 = 12$ et $8 \div 4 = 2$ , puis $D = 12 - 2 = 10$ .

Exercice 9

Facile

Effectuer la division euclidienne de $87$ par $5$ , puis écrire l'égalité correspondante.
Effectuer la division euclidienne de $124$ par $9$ .

Correction

1. $5 \times 17 = 85$ et $5 \times 18 = 90 > 87$ . Le quotient est $17$ , le reste $87 - 85 = 2$ , et $2 < 5$ .

87 = 5 \times 17 + 2

2. $9 \times 13 = 117$ et $9 \times 14 = 126 > 124$ . Le quotient est $13$ et le reste $124 - 117 = 7$ .

124 = 9 \times 13 + 7

Exercice 10

Facile

Calculer les quotients suivants, qui sont tous exacts.

$7 \div 4$
$9 \div 8$
$63 \div 5$

Correction

1. $7 \div 4 = 1,75$ .

2. $9 \div 8 = 1,125$ .

3. $63 \div 5 = 12,6$ .

Remarque

On peut toujours vérifier une division par la multiplication : $1,75 \times 4 = 7$ .

Exercice 11

Moyen

$A = (12 + 8) \div 4$
$B = 12 + 8 \div 4$
$C = 5 \times (9 - 3,5)$
$D = 30 - (4 + 2 \times 6)$

Correction

1. $12 + 8 = 20$ , puis $A = 20 \div 4 = 5$ .

2. $8 \div 4 = 2$ , puis $B = 12 + 2 = 14$ .

3. $9 - 3,5 = 5,5$ , puis $C = 5 \times 5,5 = 27,5$ .

4. Dans la parenthèse, la multiplication d'abord : $2 \times 6 = 12$ , puis $4 + 12 = 16$ . Enfin $D = 30 - 16 = 14$ .

Remarque

Les questions 1 et 2 contiennent exactement les mêmes nombres et les mêmes opérations, et donnent $5$ et $14$ : les parenthèses font toute la différence.

Exercice 12

Moyen

Développer puis calculer.

$6 \times (10 + 0,5)$
$8 \times (20 - 2,5)$
$0,5 \times (14 + 6)$

Correction

1. $6 \times 10 + 6 \times 0,5 = 60 + 3 = 63$ .

2. $8 \times 20 - 8 \times 2,5 = 160 - 20 = 140$ .

3. $0,5 \times 14 + 0,5 \times 6 = 7 + 3 = 10$ . On pouvait aussi calculer la parenthèse d'abord : $0,5 \times 20 = 10$ .

Exercice 13

Moyen

Calculer de tête, en décomposant le facteur presque rond.

$99 \times 12$
$102 \times 3,5$
$40 \times 1,25$

Correction

1. $99 \times 12 = (100 - 1) \times 12 = 1200 - 12 = 1188$ .

2. $102 \times 3,5 = (100 + 2) \times 3,5 = 350 + 7 = 357$ .

3. $40 \times 1,25 = 40 \times (1 + 0,25) = 40 + 10 = 50$ .

Exercice 14

Moyen

Amine achète $2$ kg de tomates à $6,50$ DH le kilogramme, $1,5$ kg d'oignons à $4$ DH le kilogramme et un pain à $1,20$ DH.

Calculer le prix des tomates, puis celui des oignons.
Calculer le montant total de ses achats.
Il paie avec un billet de $50$ DH. Combien lui rend-on ?

Correction

1. Tomates : $2 \times 6,50 = 13$ DH. Oignons : $1,5 \times 4 = 6$ DH.

2. Total : $13 + 6 + 1,20 = 20,20$ DH.

3. On lui rend $50 - 20,20 = 29,80$ DH.

Exercice 15

Moyen

Encadrer $12,47$ à l'unité près.
Encadrer $12,47$ au dixième près.
Donner trois nombres décimaux compris entre $5,2$ et $5,3$ .

Correction

1. $12 < 12,47 < 13$ .

2. $12,4 < 12,47 < 12,5$ .

3. Par exemple $5,21$ , $5,25$ et $5,29$ . Il en existe en réalité une infinité : $5,201$ , $5,2001$ , et ainsi de suite.

Exercice 16

Moyen

Arrondir le nombre $17,0649$ :

à l'unité,
au dixième,
au centième,
au millième.

Correction

1. Le chiffre suivant est $0$ , donc l'arrondi à l'unité est $17$ .

2. Après le rang des dixièmes vient $6$ , donc on augmente : l'arrondi au dixième est $17,1$ .

3. Après le rang des centièmes vient $4$ , donc on ne change rien : l'arrondi au centième est $17,06$ .

4. Après le rang des millièmes vient $9$ , donc on augmente : l'arrondi au millième est $17,065$ .

Attention

Les arrondis se calculent tous à partir du nombre de départ, jamais à partir de l'arrondi précédent : arrondir $17,0649$ au centième donne $17,06$ , alors qu'arrondir $17,065$ au centième donnerait $17,07$ .

Exercice 17

Moyen

Sans poser les opérations, donner un ordre de grandeur de chaque calcul, puis dire si le résultat proposé est plausible.

$4,9 \times 19,8$ , résultat proposé : $97,02$ .
$302 \times 0,48$ , résultat proposé : $1449,6$ .
$1,03 \times 7,9$ , résultat proposé : $8,137$ .

Correction

1. $4,9 \approx 5$ et $19,8 \approx 20$ , donc le produit vaut environ $100$ . Le résultat $97,02$ est plausible.

2. $302 \approx 300$ et $0,48 \approx 0,5$ , donc le produit vaut environ $150$ . Le résultat $1449,6$ est dix fois trop grand : il est faux.

3. $1,03 \approx 1$ et $7,9 \approx 8$ , donc le produit vaut environ $8$ . Le résultat $8,137$ est plausible.

Exercice 18

Moyen

Une voiture consomme en moyenne $6,4$ litres de carburant pour $100$ km. Le litre coûte $12,50$ DH.

Quelle quantité de carburant consomme-t-elle pour un trajet de $350$ km ?
Quel est le coût de ce trajet ?

Correction

1. Pour $1$ km, la consommation est de $6,4 \div 100 = 0,064$ litre.

Pour $350$ km : $0,064 \times 350 = 22,4$ litres.

2. Le coût vaut $22,4 \times 12,50 = 280$ DH.

Remarque

Vérification par ordre de grandeur : environ $22$ litres à environ $12$ DH font environ $264$ DH. Le résultat est du bon ordre.

Exercice 19

Moyen

Calculer, puis répondre à la question posée.

$40 \times 0,5$ puis $40 \div 0,5$
$12 \times 0,25$ puis $12 \div 0,25$
Multiplier un nombre par $0,1$ , est-ce le rendre plus grand ou plus petit ?

Correction

1. $40 \times 0,5 = 20$ et $40 \div 0,5 = 80$ . Multiplier par $0,5$ revient à prendre la moitié, diviser par $0,5$ revient à doubler.

2. $12 \times 0,25 = 3$ et $12 \div 0,25 = 48$ .

3. Multiplier par $0,1$ rend le nombre dix fois plus petit : c'est la même chose que diviser par $10$ .

Remarque

La phrase « multiplier agrandit, diviser diminue » est vraie tant qu'on reste au-dessus de $1$ , et fausse dès qu'on passe en dessous.

Exercice 20

Moyen

Un professeur répartit $250$ cahiers entre $12$ classes, en donnant le même nombre de cahiers à chaque classe.

Combien de cahiers reçoit chaque classe ?
Combien de cahiers restent-ils ?
Combien de cahiers faudrait-il ajouter pour qu'il ne reste rien ?

Correction

1. On effectue la division euclidienne de $250$ par $12$ : $12 \times 20 = 240$ et $12 \times 21 = 252 > 250$ . Chaque classe reçoit donc $20$ cahiers.

2. Le reste vaut $250 - 240 = 10$ cahiers.

3. Il faudrait $2$ cahiers de plus pour atteindre $252 = 12 \times 21$ , et chaque classe en recevrait alors $21$ .

Exercice 21

Moyen

Trouver le nombre caché dans chaque égalité.

$4,7 + \dots = 10$
$\dots \times 6 = 27$
$15 - \dots = 8,25$

Correction

1. $10 - 4,7 = 5,3$ , donc le nombre cherché est $5,3$ .

2. $27 \div 6 = 4,5$ , donc le nombre cherché est $4,5$ .

3. $15 - 8,25 = 6,75$ , donc le nombre cherché est $6,75$ .

Remarque

Dans chaque cas, on retrouve le nombre manquant en effectuant l'opération inverse de celle qui figure dans l'égalité.

Exercice 22

Moyen

Un terrain rectangulaire mesure $18,5$ m de longueur et $12,4$ m de largeur. On veut l'entourer d'un grillage vendu $27,50$ DH le mètre.

Calculer le périmètre du terrain.
Calculer le prix du grillage nécessaire.
On laisse une ouverture de $3$ m pour un portail. Quelle économie réalise-t-on ?

Correction

1. $P = 2 \times (18,5 + 12,4) = 2 \times 30,9 = 61,8$ m.

2. $61,8 \times 27,50 = 1699,50$ DH.

3. Les $3$ m non grillagés coûteraient $3 \times 27,50 = 82,50$ DH : c'est l'économie réalisée. Le grillage revient alors à $1699,50 - 82,50 = 1617$ DH.

Exercice 23

Difficile

Une famille a consommé $148$ kWh d'électricité. Le prix est de $0,9$ DH par kWh pour les $100$ premiers kWh, puis de $1,2$ DH par kWh au-delà. S'ajoute une taxe fixe de $15,50$ DH.

Calculer le prix des $100$ premiers kWh.
Calculer le prix des kWh suivants.
Calculer le montant total de la facture.
Quelle aurait été la facture avec un tarif unique de $1$ DH par kWh ?

Correction

1. $100 \times 0,9 = 90$ DH.

2. Au-delà de $100$ kWh, il reste $148 - 100 = 48$ kWh, facturés $48 \times 1,2 = 57,60$ DH.

3. Total : $90 + 57,60 + 15,50 = 163,10$ DH.

4. Avec un tarif unique : $148 \times 1 + 15,50 = 163,50$ DH, soit $0,40$ DH de plus.

Remarque

Le tarif par tranches est ici très légèrement plus avantageux, mais l'écart se creuse dès que la consommation augmente : à $300$ kWh, les deux tarifs donneraient $345,50$ DH contre $315,50$ DH.

Exercice 24

Difficile

Calculer en respectant strictement les priorités.

$A = 50 - [3 \times (4 + 2,5)]$
$B = [(18 - 6) \div 4] \times (2 + 0,5)$
$C = 2 \times [10 - (3 \times 2 - 1)] + 4,5$

Correction

1. Parenthèse intérieure : $4 + 2,5 = 6,5$ . Puis $3 \times 6,5 = 19,5$ . Enfin $A = 50 - 19,5 = 30,5$ .

2. $18 - 6 = 12$ , puis $12 \div 4 = 3$ . À côté, $2 + 0,5 = 2,5$ . Enfin $B = 3 \times 2,5 = 7,5$ .

3. Dans la parenthèse la plus intérieure : $3 \times 2 = 6$ , puis $6 - 1 = 5$ . Ensuite $10 - 5 = 5$ , puis $2 \times 5 = 10$ . Enfin $C = 10 + 4,5 = 14,5$ .

Méthode

La règle qui évite l'erreur

Repérer la parenthèse la plus intérieure et la calculer en premier.
Réécrire tout le calcul avec le résultat trouvé, sans sauter d'étape.
Recommencer jusqu'à ce qu'il ne reste plus de parenthèses, puis appliquer l'ordre habituel.

Exercice 25

Difficile

Un cahier coûte $8$ DH à l'unité. Deux libraires proposent :

Libraire A : un lot de $5$ cahiers pour $36$ DH.
Libraire B : $10 %$ de réduction sur le prix unitaire, quel que soit le nombre de cahiers.

Quel est le prix d'un cahier chez chaque libraire ?
Laquelle des deux offres est la plus avantageuse ?
Combien coûtent $20$ cahiers chez chacun ?

Correction

1. Chez A : $36 \div 5 = 7,20$ DH le cahier. Chez B : une réduction de $10 %$ de $8$ DH vaut $8 \times 0,1 = 0,80$ DH, donc le cahier coûte $8 - 0,80 = 7,20$ DH.

2. Les deux prix unitaires sont identiques : $7,20$ DH. Aucune des deux offres n'est plus avantageuse que l'autre sur le prix.

3. Chez A, $20$ cahiers font $4$ lots de $5$ : $4 \times 36 = 144$ DH. Chez B : $20 \times 7,20 = 144$ DH. Le total est le même.

Remarque

L'offre B reste préférable en pratique pour un nombre de cahiers qui n'est pas un multiple de $5$ : pour $7$ cahiers, B demande $50,40$ DH, alors que A oblige à acheter $10$ cahiers, soit $72$ DH.

Exercice 26

Difficile

Un boulanger utilise $0,25$ kg de farine par pain. Il achète la farine en sacs de $50$ kg à $310$ DH le sac, et vend chaque pain $1,40$ DH.

Combien de pains peut-il fabriquer avec un sac ?
Quel est le coût de la farine pour un pain ?
Quel bénéfice fait-il sur un pain, si la farine est sa seule dépense ?
Quel bénéfice réalise-t-il avec un sac entier ?

Correction

1. $50 \div 0,25 = 200$ pains.

2. $310 \div 200 = 1,55$ DH de farine par pain.

3. Le pain est vendu $1,40$ DH et coûte $1,55$ DH : le boulanger perd $0,15$ DH sur chaque pain.

4. Sur un sac entier : $200 \times 0,15 = 30$ DH de perte. On le retrouve directement par $200 \times 1,40 - 310 = 280 - 310 = - 30$ DH.

Attention

Un résultat négatif n'est pas forcément une erreur de calcul : ici il signifie simplement que le prix de vente ne couvre pas la dépense. Les nombres négatifs sont étudiés dans le chapitre sur les nombres relatifs.

Exercice 27

Difficile

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifier.

Un nombre qui a trois chiffres après la virgule est toujours plus grand qu'un nombre qui n'en a qu'un.
Le produit de deux nombres décimaux est toujours plus grand que chacun d'eux.
Dans une division euclidienne par $7$ , le reste peut valoir $7$ .
$0,1 \times 0,1 = 0,01$ .

Correction

1. Faux. $0,125$ a trois décimales et $9,5$ n'en a qu'une, pourtant $0,125 < 9,5$ . Le nombre de décimales ne dit rien sur la taille du nombre.

2. Faux. $0,5 \times 0,5 = 0,25$ , qui est plus petit que $0,5$ . Un produit n'agrandit que si les facteurs dépassent $1$ .

3. Faux. Par définition, le reste est strictement inférieur au diviseur : $0 ⩽ r < 7$ . Un reste égal à $7$ signifierait qu'on peut encore retirer un $7$ , donc que le quotient est trop petit.

4. Vrai. $1 \times 1 = 1$ , et il y a deux chiffres après la virgule au total, donc le résultat est $0,01$ .

Exercice 28

Difficile

Une classe de $36$ élèves part de Marrakech pour Essaouira, à $175$ km. Le car est loué $2340$ DH, et chaque élève paie une entrée de musée de $12,50$ DH. Le car roule à $70$ km/h de moyenne.

Quelle est la durée du trajet aller ?
Quelle somme chaque élève doit-il verser pour la location du car ?
Quel est le coût total du voyage pour un élève ?
L'association des parents verse $500$ DH. Quel est alors le coût par élève ?

Correction

1. $175 \div 70 = 2,5$ heures, soit $2$ heures et $30$ minutes.

2. $2340 \div 36 = 65$ DH par élève.

3. $65 + 12,50 = 77,50$ DH par élève.

4. La dépense totale vaut $2340 + 36 \times 12,50 = 2340 + 450 = 2790$ DH. Après la subvention : $2790 - 500 = 2290$ DH, soit $2290 \div 36 \approx 63,61$ DH par élève.

Remarque

La division $2290 \div 36$ ne tombe pas juste. On donne donc une valeur approchée au centième, ce qui suffit largement pour une somme d'argent.

Exercice 29

Difficile

On considère le programme de calcul suivant :

Choisir un nombre.
Le multiplier par $4$ .
Ajouter $6$ au résultat.
Diviser le tout par $2$ .

Répondre aux questions :

Quel résultat obtient-on en partant de $5$  ?
Quel résultat obtient-on en partant de $2,5$  ?
Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir $19$  ?

Correction

1. $5 \times 4 = 20$ , puis $20 + 6 = 26$ , puis $26 \div 2 = 13$ .

2. $2,5 \times 4 = 10$ , puis $10 + 6 = 16$ , puis $16 \div 2 = 8$ .

3. On remonte le programme en effectuant les opérations inverses, dans l'ordre inverse.

Avant la division par $2$ , le nombre valait $19 \times 2 = 38$ .
Avant l'ajout de $6$ , il valait $38 - 6 = 32$ .
Avant la multiplication par $4$ , il valait $32 \div 4 = 8$ .

Le nombre choisi au départ était donc $8$ . Vérification : $8 \times 4 = 32$ , $32 + 6 = 38$ , $38 \div 2 = 19$ .

Exercice 30

Difficile

Une coopérative vend l'huile d'argan en bidons de $0,25$ L à $95$ DH, ou en bidons de $2$ L à $720$ DH.

Calculer le prix d'un litre dans chaque conditionnement.
Quel conditionnement est le plus avantageux, et de combien par litre ?
Un restaurateur a besoin de $5$ L. Calculer le prix avec chaque conditionnement.
Il ne dispose que de $1900$ DH. Quelle quantité maximale peut-il acheter, et comment ?

Correction

1. Petit bidon : $95 \div 0,25 = 380$ DH le litre. Grand bidon : $720 \div 2 = 360$ DH le litre.

2. Le grand bidon est plus avantageux, de $380 - 360 = 20$ DH par litre.

3. En petits bidons, $5$ L font $5 \div 0,25 = 20$ bidons, soit $20 \times 95 = 1900$ DH. En grands bidons, $5$ L font $2,5$ bidons : il faut donc en acheter $3$ , soit $3 \times 720 = 2160$ DH pour $6$ L.

4. Avec $1900$ DH, il peut prendre $2$ grands bidons ( $1440$ DH) et il lui reste $460$ DH. Avec ce reste, il achète $4$ petits bidons ( $380$ DH), soit $1$ L de plus.

Il obtient ainsi $4 + 1 = 5$ litres pour $1440 + 380 = 1820$ DH, alors que $5$ litres en petits bidons lui auraient coûté $1900$ DH. Il économise $80$ DH.

Remarque

L'exercice montre qu'un raisonnement en prix au litre ne suffit pas toujours : ce qui décide, c'est ce qu'on peut réellement acheter avec la somme dont on dispose.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Comment comparer et ranger des nombres décimaux ?

L'addition et la soustraction de nombres décimaux

La multiplication de nombres décimaux

La division : quotient exact, quotient approché et division euclidienne

Les priorités opératoires : dans quel ordre calculer ?

La distributivité : calculer plus vite

Valeur approchée, arrondi et ordre de grandeur

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Dans quel ordre effectuer les opérations d'un calcul ?

Pourquoi 7,47,4 est-il plus grand que 7,387,38 ?

Comment placer la virgule dans une multiplication de décimaux ?

Quelle est la différence entre le quotient d'une division euclidienne et un quotient décimal ?

À quoi sert l'ordre de grandeur si on doit quand même poser le calcul ?

Comment poser une addition de nombres décimaux ?

Comment multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1000 ?

Comment arrondir un nombre décimal au dixième ?

Peut-on supprimer les zéros d'un nombre décimal ?

Quiz : 20 questions sur ce chapitre

Q1Quel est le chiffre des centièmes dans le nombre 47,30847,308 ?

Q2Quelle égalité est vraie ?

Q3Quel est le plus grand de ces trois nombres ?

Q4Combien vaut 12,5+3,7512,5+3,75 ?

Q5Combien vaut 8,4−2,658,4−2,65 ?

Q6Combien vaut 1,2×0,31,2×0,3 ?

Q7Combien vaut 3,25×1003,25×100 ?

Q8Combien vaut 45,8÷1045,8÷10 ?

Q9Multiplier un nombre par 0,10,1, c'est la même chose que :

Q10Combien vaut 5+3×45+3×4 ?

Q11Combien vaut (5+3)×4(5+3)×4 ?

Q12Combien vaut 20−3+620−3+6 ?

Q13Dans un calcul, que fait-on en premier ?

Q14Dans la division euclidienne de 4747 par 66, que valent le quotient et le reste ?

Q15Dans une division euclidienne par 99, quel reste est impossible ?

Q16Combien vaut 7÷47÷4 ?

Q17Quelle écriture est correcte pour la distributivité ?

Q18Quelle est la façon la plus rapide de calculer 99×799×7 de tête ?

Q19Quel est l'arrondi de 3,7483,748 au centième ?

Q20Quel est l'arrondi de 12,34912,349 au dixième ?

Q21Un ordre de grandeur de 2,7×4,12,7×4,1 est :

Q22Combien vaut 40×0,540×0,5 ?

Q23L'affirmation « multiplier rend toujours plus grand » est :

Q24Que vaut la partie entière de 0,970,97 ?

Q25Quelle est la décomposition correcte de 6,036,03 ?

Q26Quel encadrement de 6,476,47 à l'unité près est correct ?

Q27Combien de nombres décimaux existe-t-il entre 2,32,3 et 2,42,4 ?

Q28Combien vaut 0,5×0,50,5×0,5 ?

Q29Combien vaut 18÷3+418÷3+4 ?

Q30Combien vaut 6×(10+0,5)6×(10+0,5) ?

Q31Quel calcul donne le même résultat que 8×2,5+8×7,58×2,5+8×7,5 ?

Q32Quelle affirmation est vraie ?

Q33Tout nombre entier est-il un nombre décimal ?

Q34Combien vaut 2,7+4,9+7,32,7+4,9+7,3 ?

Q35La soustraction est-elle commutative ?

Q36Combien vaut 25×1,0425×1,04 ?

Q37Un article coûte 88 DH. Une réduction de 10 %10 % le fait passer à :

Q38Quelle est la troncature de 3,793,79 au dixième ?

Q3950−3×(4+2,5)50−3×(4+2,5) vaut :

Q40On partage 250250 cahiers entre 1212 classes, à parts égales. Que reste-t-il ?

Le chapitre est à revoir en entier

À revoir : 20 questions manquées

Exercices corrigés

Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Comment comparer et ranger des nombres décimaux ?

Les priorités opératoires : dans quel ordre calculer ?

Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?

Dans quel ordre effectuer les opérations d'un calcul ?

Pourquoi $7,4$ est-il plus grand que $7,38$  ?

Comment placer la virgule dans une multiplication de décimaux ?

Quelle est la différence entre le quotient d'une division euclidienne et un quotient décimal ?

À quoi sert l'ordre de grandeur si on doit quand même poser le calcul ?

Comment poser une addition de nombres décimaux ?

Comment multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1000 ?

Comment arrondir un nombre décimal au dixième ?

Peut-on supprimer les zéros d'un nombre décimal ?

Q1Quel est le chiffre des centièmes dans le nombre $47,308$  ?

Q2Quelle égalité est vraie ?

Q3Quel est le plus grand de ces trois nombres ?

Q4Combien vaut $12,5 + 3,75$  ?

Q5Combien vaut $8,4 - 2,65$  ?

Q6Combien vaut $1,2 \times 0,3$  ?

Q7Combien vaut $3,25 \times 100$  ?

Q8Combien vaut $45,8 \div 10$  ?

Q9Multiplier un nombre par $0,1$ , c'est la même chose que :

Q10Combien vaut $5 + 3 \times 4$  ?

Q11Combien vaut $(5 + 3) \times 4$  ?

Q12Combien vaut $20 - 3 + 6$  ?

Q13Dans un calcul, que fait-on en premier ?

Q14Dans la division euclidienne de $47$ par $6$ , que valent le quotient et le reste ?

Q15Dans une division euclidienne par $9$ , quel reste est impossible ?

Q16Combien vaut $7 \div 4$  ?

Q17Quelle écriture est correcte pour la distributivité ?

Q18Quelle est la façon la plus rapide de calculer $99 \times 7$ de tête ?

Q19Quel est l'arrondi de $3,748$ au centième ?

Q20Quel est l'arrondi de $12,349$ au dixième ?

Q21Un ordre de grandeur de $2,7 \times 4,1$ est :

Q22Combien vaut $40 \times 0,5$  ?

Q23L'affirmation « multiplier rend toujours plus grand » est :

Q24Que vaut la partie entière de $0,97$  ?

Q25Quelle est la décomposition correcte de $6,03$  ?

Q26Quel encadrement de $6,47$ à l'unité près est correct ?

Q27Combien de nombres décimaux existe-t-il entre $2,3$ et $2,4$  ?

Q28Combien vaut $0,5 \times 0,5$  ?

Q29Combien vaut $18 \div 3 + 4$  ?

Q30Combien vaut $6 \times (10 + 0,5)$  ?

Q31Quel calcul donne le même résultat que $8 \times 2,5 + 8 \times 7,5$  ?

Q32Quelle affirmation est vraie ?

Q33Tout nombre entier est-il un nombre décimal ?

Q34Combien vaut $2,7 + 4,9 + 7,3$  ?

Q35La soustraction est-elle commutative ?

Q36Combien vaut $25 \times 1,04$  ?

Q37Un article coûte $8$ DH. Une réduction de $10 %$ le fait passer à :

Q38Quelle est la troncature de $3,79$ au dixième ?

Q39 $50 - 3 \times (4 + 2,5)$ vaut :

Q40On partage $250$ cahiers entre $12$ classes, à parts égales. Que reste-t-il ?