Les droites remarquables du triangle

1. Non. La condition du milieu manque.

2. Non. La condition de perpendicularité manque.

3. Oui. Les deux conditions sont réunies : c'est la définition.

1. $MB=5$ cm, par la propriété d'équidistance.

2. $NA=NB$, donc $N$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.

3. Non, puisque $PA\mathrm{\ne }PB$.

1. La hauteur issue de $A$.

2. La médiane issue de $A$.

3. La médiatrice de $[BC]$.

4. La bissectrice de l'angle $\widehat{A}$.

1. Le point $O$, centre du cercle circonscrit.

2. L'orthocentre $H$.

3. Le centre de gravité $G$.

4. Le point $I$, centre du cercle inscrit.

1. Trois, une par sommet.

2. Trois, une par sommet.

3. Trois, une par côté.

1. Par les trois sommets du triangle.

2. Au point de concours des trois médiatrices.

3. $OB=OC=4$ cm : le centre est à égale distance des trois sommets, et cette distance est le rayon.

1. Aux trois côtés du triangle, qu'il touche chacun en un point.

2. Au point de concours des trois bissectrices.

3. Oui. Le point $I$ est toujours intérieur au triangle, contrairement à l'orthocentre ou au centre du cercle circonscrit.

1. Vrai. Elle joint un sommet au milieu du côté opposé.

2. Faux. La médiatrice d'un côté ne passe par un sommet que dans des cas particuliers, comme le triangle isocèle.

3. Vrai. C'est sa définition.

4. Faux. Il sort du triangle lorsque celui-ci possède un angle obtus, et il tombe sur le sommet de l'angle droit dans un triangle rectangle.

1. Elle est à la fois la médiane issue de $A$, la hauteur issue de $A$, la médiatrice de $[BC]$ et la bissectrice de $\widehat{BAC}$ : c'est l'axe de symétrie du triangle.

2. Un angle droit, $90\mathrm{°}$, puisque cette droite est aussi une hauteur.

On place la pointe du compas sur $A$, on écarte le compas de plus de la moitié de $AB$, et l'on trace deux arcs, un de chaque côté du segment.

Sans modifier l'écartement, on recommence depuis $B$ : les arcs se coupent en deux points.

La droite passant par ces deux points est la médiatrice de $[AB]$. Chacun d'eux est en effet à égale distance de $A$ et de $B$, puisque l'écartement du compas n'a pas changé.

1. La médiane issue de $A$.

2. La médiatrice de $[BC]$.

3. En général non : elles se croisent en $M$ mais ne se confondent pas. Elles ne coïncident que si le triangle est isocèle en $A$, car la médiane est alors aussi une hauteur, donc perpendiculaire à $(BC)$.

1. Les trois angles sont aigus, donc l'orthocentre est à l'intérieur du triangle.

2. Il est confondu avec le sommet $A$, sommet de l'angle droit : deux des trois hauteurs sont les côtés de l'angle droit eux-mêmes.

3. L'angle est obtus, donc l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.

1. Au milieu de l'hypoténuse $[BC]$, puisque le triangle est rectangle en $A$.

2. L'hypoténuse est un diamètre, donc le rayon vaut $10÷2=5$ cm.

3. $A$ est sur le cercle, donc la distance du centre à $A$ vaut aussi $5$ cm.

1. La médiane issue de $B$.

2. La médiatrice de $[AB]$.

3. La hauteur issue de $C$.

4. La bissectrice de l'angle $\widehat{A}$, qui mesure donc $54\mathrm{°}$.

1. $180\mathrm{°}÷3=60\mathrm{°}$.

2. Ils sont tous les quatre confondus au centre du triangle, car chaque droite issue d'un sommet est à la fois hauteur, médiane, médiatrice du côté opposé et bissectrice.

3. Trois axes de symétrie, un par sommet.

1. On trace $[BC]$ de $7$ cm. On trace ensuite un arc de centre $B$ et de rayon $6$ cm, puis un arc de centre $C$ et de rayon $5$ cm : leur intersection donne le point $A$.

2. On construit au compas les médiatrices de deux côtés, par exemple $[AB]$ et $[BC]$. Elles se coupent en $O$. On trace alors le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ : il passe par $B$ et $C$.

3. On construit au compas les bissectrices de deux angles, par exemple $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$. Elles se coupent en $I$. On trace la perpendiculaire de $I$ à un côté pour obtenir le rayon, puis le cercle de centre $I$ et de ce rayon.

1. $\widehat{C}=180\mathrm{°}-84\mathrm{°}-56\mathrm{°}=40\mathrm{°}$.

2. $84\mathrm{°}÷2=42\mathrm{°}$.

3. $40\mathrm{°}÷2=20\mathrm{°}$.

1. $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{9\times 4}{2}}=18$ cm².

2. L'aire ne dépend pas du côté choisi comme base : ${\displaystyle \frac{AC\times 6}{2}}=18$, donc $AC\times 6=36$ et $AC=6$ cm.

1. $30÷2=15$ cm².

2. $15$ cm² également.

3. Les deux triangles ont des bases de même longueur, $BM=MC$, et la même hauteur issue de $A$, puisque $B$, $M$ et $C$ sont alignés. Leurs aires sont donc égales.

1. Sur la médiatrice de $[AB]$, qui est exactement l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$.

2. Une infinité : tous les points de cette droite conviennent.

3. Il faut de plus être sur le cercle de centre $A$ et de rayon $5$ km. Ce cercle coupe la médiatrice en deux points, symétriques par rapport à $[AB]$ : il reste donc deux positions possibles.

1. À l'intérieur du triangle.

2. Au milieu de l'hypoténuse, donc sur un côté du triangle.

3. À l'extérieur du triangle, l'angle étant obtus.

1. Les deux angles à la base sont égaux et leur somme vaut $180\mathrm{°}-40\mathrm{°}=140\mathrm{°}$, donc chacun mesure $70\mathrm{°}$.

2. $(AM)$ est la bissectrice de $\widehat{A}$, donc $\widehat{BAM}=40\mathrm{°}÷2=20\mathrm{°}$.

3. $(AM)$ est aussi la hauteur issue de $A$, donc $\widehat{AMB}=90\mathrm{°}$.

1. $O$ est sur la médiatrice de $[AB]$, donc par la propriété d'équidistance $OA=OB$.

2. $O$ est sur la médiatrice de $[BC]$, donc $OB=OC$.

3. Des deux égalités précédentes on tire $OA=OC$. Or les points équidistants de $A$ et de $C$ sont exactement ceux de la médiatrice de $[AC]$ : $O$ appartient donc à cette troisième médiatrice.

4. Les trois médiatrices passent toutes par $O$ : elles sont concourantes. Ce point, à égale distance des trois sommets, est le centre du cercle circonscrit.

1. Faux. Ce n'est vrai que si le triangle est isocèle en $A$. Dans un triangle quelconque, la médiane et la hauteur issues de $A$ sont deux droites distinctes.

2. Faux. Si le triangle possède un angle obtus, il faut prolonger le côté opposé, et le pied de la hauteur tombe en dehors du segment.

3. Faux. Le centre de gravité est toujours intérieur au triangle, contrairement à l'orthocentre et au centre du cercle circonscrit.

4. Faux. Un triangle isocèle en $A$ possède un axe de symétrie, qui est la médiatrice de $[BC]$, mais les médiatrices de $[AB]$ et de $[AC]$ sont deux autres droites. Elles sont simplement symétriques l'une de l'autre par rapport à cet axe.

1. L'orthocentre est le sommet de l'angle droit : $H=A$.

2. $O$ est le milieu de l'hypoténuse $[BC]$, et le rayon vaut $10÷2=5$ cm.

3. Les côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur : $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{6\times 8}{2}}=24$ cm².

4. En prenant $[BC]$ comme base : ${\displaystyle \frac{10\times h}{2}}=24$, donc $10h=48$ et $h=\mathrm{4,8}$ cm.

1. La hauteur, la médiane et la bissectrice issues de $A$, ainsi que la médiatrice de $[BC]$ : ces quatre droites sont une seule et même droite, l'axe de symétrie.

2. Non. Les quatre points sont bien alignés sur cet axe, mais ils ne coïncident pas : les droites issues de $B$ et de $C$, elles, restent distinctes deux à deux.

3. Le triangle équilatéral.

4. Dans un triangle équilatéral, la propriété du triangle isocèle s'applique aux trois sommets à la fois. Chaque droite issue d'un sommet est simultanément hauteur, médiane, bissectrice et médiatrice du côté opposé : les quatre familles se confondent, donc leurs quatre points de concours aussi.

1. On construit les médiatrices de $[AB]$ et de $[BC]$ : leur point d'intersection $O$ vérifie $OA=OB=OC$.

2. Une seule : deux médiatrices distinctes se coupent en un unique point.

3. Non. Si l'un des angles du triangle est obtus, le point $O$ se trouve à l'extérieur du triangle ; si le triangle est rectangle, il se trouve exactement sur un côté.

4. À égale distance de trois droites et non de trois points : c'est le point de concours des bissectrices, le centre $I$ du cercle inscrit, toujours intérieur au triangle.

1. Le triangle est isocèle en $A$. La médiane atteint le milieu de $[BC]$ et, étant aussi hauteur, elle est perpendiculaire à $(BC)$ : c'est donc la médiatrice de $[BC]$, et $AB=AC$.

2. Le triangle est rectangle en $B$, puisque l'orthocentre ne coïncide avec un sommet que dans ce cas.

3. Le centre du cercle circonscrit n'est sur un côté que si le triangle est rectangle, et ce côté est alors l'hypoténuse. Le triangle est donc rectangle en $B$, et $O$ est le milieu de $[AC]$.

4. Chaque sommet donne une droite qui est à la fois hauteur et médiane, donc le triangle est isocèle en chacun de ses trois sommets : il est équilatéral.

1. Sur la médiatrice de $[BC]$, puisque $AB=AC$.

2. On trace $[BC]$ de $8$ cm, puis sa médiatrice au compas. Comme le triangle est isocèle en $A$, la hauteur issue de $A$ est portée par cette médiatrice : on reporte donc $5$ cm sur la médiatrice à partir du milieu de $[BC]$, ce qui donne $A$. Il ne reste qu'à joindre $A$ à $B$ et à $C$.

3. $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{8\times 5}{2}}=20$ cm².

4. Deux, symétriques par rapport à $(BC)$, selon le côté où l'on reporte les $5$ cm. Ils sont superposables.

1. Le point $O$, concours des médiatrices, centre du cercle circonscrit.

2. Le point $I$, concours des bissectrices, centre du cercle inscrit.

3. L'orthocentre $H$, concours des hauteurs.

4. Le centre de gravité $G$, concours des médianes.

5. $H$ est confondu avec le sommet $A$, $O$ est le milieu de l'hypoténuse $[BC]$ donc sur un côté, tandis que $G$ et $I$ sont tous deux à l'intérieur du triangle.