Aller au contenu principal
MATHFJIB

Les angles

Un angle est la figure formée par deux demi-droites de même origine : cette origine est son sommet, les deux demi-droites sont ses côtés. Sa mesure, exprimée en degrés, indique l'écartement entre ces deux côtés, et se lit au rapporteur. Deux angles dont les mesures s'ajoutent à 90° sont dits complémentaires, à 180° supplémentaires : ces deux relations reviennent dans presque toutes les figures du collège.

Mis à jour le

Carte de la leçon sur les angles en 1AC : deux demi-droites issues d'un même sommet, un arc tracé entre elles et un rapporteur gradué posé sur ce sommet.
L'arc tracé entre les deux demi-droites est ce que lit le rapporteur de cette carte : la mesure d'un angle exprime l'écartement de ses côtés, et non leur longueur. Programme de 1AC, semestre 1.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

  • Nommer un angle, reconnaître son sommet et ses côtés
  • Mesurer un angle au rapporteur et construire un angle de mesure donnée
  • Classer un angle : nul, aigu, droit, obtus, plat ou plein
  • Reconnaître des angles adjacents, complémentaires ou supplémentaires
  • Utiliser la propriété des angles opposés par le sommet
  • Construire et utiliser la bissectrice d'un angle
  • Reconnaître des angles alternes-internes et des angles correspondants

PrérequisLes notions de point, droite, demi-droite et segment · L'utilisation de la règle, de l'équerre et du compas · Les opérations sur les nombres décimaux

Qu'est-ce qu'un angle ?

Définition

Angle : Un angle est la figure formée par deux demi-droites de même origine. Cette origine commune est le sommet de l'angle, et les deux demi-droites en sont les côtés.

Un angle ne mesure pas une longueur mais un écartement : allonger les côtés d'un angle ne change rien à sa mesure. C'est la première idée à admettre, et la moins intuitive.

Définition

Notation d'un angle : Un angle se note à l'aide de trois lettres surmontées d'un chapeau, la lettre du sommet étant toujours au milieu : AOB^ désigne l'angle de sommet O dont les côtés passent par A et B. On écrit indifféremment AOB^ ou BOA^.

Attention

La lettre centrale n'est jamais choisie au hasard : AOB^ et OAB^ désignent deux angles différents, le premier de sommet O, le second de sommet A.

Le sommet et les côtés d'un angleDeux demi-droites partent d'un même point O. Le point O est le sommet de l'angle, les deux demi-droites, qui passent l'une par A et l'autre par B, en sont les côtés, et l'arc tracé entre elles à l'intérieur de l'angle représente l'angle AÔB.AÔBOABcôté [OA)côté [OB)sommet
Le sommet et les côtés d'un angle. Le sommet d'un angle est l'origine commune de ses deux côtés : dans la notation AÔB, la lettre du sommet est celle du milieu.

L'unité de mesure d'un angle est le degré, noté °. Un tour complet vaut 360°, un demi-tour 180°, un quart de tour 90°.

Mesurer et construire un angle au rapporteur

Méthode

Mesurer un angle

  1. Placer le centre du rapporteur exactement sur le sommet de l'angle.
  2. Faire coïncider la graduation 0 du rapporteur avec l'un des côtés de l'angle.
  3. Lire la mesure sur la graduation traversée par l'autre côté, en utilisant la série de nombres qui part de 0 sur le côté choisi.
Lire une mesure au rapporteurUn rapporteur est posé sur un angle : son centre coïncide avec le sommet O et sa graduation zéro avec le côté horizontal. Le second côté de l'angle traverse la graduation 60 de la série extérieure, celle qui part de zéro du côté choisi, et la graduation 120 de la série intérieure.02040608010012014016018018016014012010080604020060°O
Lire une mesure au rapporteur. Le centre du rapporteur se place sur le sommet et la graduation zéro sur l'un des côtés : la mesure se lit alors sur la série de graduations qui part de ce zéro, ici 60° et non 120°.

Attention

Le rapporteur porte deux séries de graduations, l'une croissante de gauche à droite, l'autre en sens inverse. Sur la figure ci-dessus, une confusion entre les deux ferait lire 120° au lieu de 60°. Le réflexe qui protège de l'erreur : regarder d'abord si l'angle est aigu ou obtus, puis vérifier que la mesure lue est cohérente.

Méthode

Construire un angle de mesure donnée

  1. Tracer une demi-droite [Ox), qui sera le premier côté.
  2. Placer le centre du rapporteur sur O et la graduation 0 sur [Ox).
  3. Repérer la graduation correspondant à la mesure voulue et marquer un point A à cet endroit.
  4. Tracer la demi-droite [OA) : l'angle xOA^ a la mesure demandée.

Remarque

Certains angles se construisent sans rapporteur : 90° à l'équerre, 60° en construisant un triangle équilatéral au compas, 45° en traçant la bissectrice d'un angle droit.

Les différents types d'angles

Type d'angleMesureRepère visuel
Angle nul0°les deux côtés sont confondus
Angle aiguentre 0° et 90°plus fermé qu'un angle droit
Angle droit90°les côtés sont perpendiculaires
Angle obtusentre 90° et 180°plus ouvert qu'un angle droit
Angle plat180°les deux côtés forment une droite
Angle plein360°un tour complet
Le classement se fait toujours par comparaison à l'angle droit et à l'angle plat.
Les six types d'anglesSix angles dessinés côte à côte : un angle nul dont les deux côtés sont confondus, un angle aigu de 45 degrés, un angle droit de 90 degrés marqué par un petit carré, un angle obtus de 130 degrés, un angle plat de 180 degrés dont les côtés forment une droite, et un angle plein de 360 degrés représenté par un tour complet.nul, 0°aigu, 45°droit, 90°obtus, 130°plat, 180°plein, 360°
Les six types d'angles. Un angle se classe par comparaison à l'angle droit : aigu en dessous de 90°, droit à 90°, obtus entre 90° et 180°, plat à 180°.

Classer des angles

Classer les angles de mesures 35°, 90°, 128°, 180° et 7°.

  1. 35° et 7° sont aigus, car compris entre 0° et 90°.
  2. 90° est droit.
  3. 128° est obtus, car compris entre 90° et 180°.
  4. 180° est plat.

Remarque

Un angle droit se code sur une figure par un petit carré placé au sommet, et non par un arc de cercle. Ce codage vaut démonstration : il indique que le fait est donné, pas mesuré à l'œil.

Les angles adjacents

Définition

Angles adjacents : Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Les trois conditions sont nécessaires.

Propriété

Somme de deux angles adjacents

Si AOB^ et BOC^ sont adjacents, alors AOC^=AOB^+BOC^ : les mesures s'additionnent.

Deux angles adjacents et leur sommeTrois demi-droites partent du point O : [OA) horizontale, [OB) au milieu et [OC) verticale. L'angle AÔB mesure 48 degrés et l'angle BÔC mesure 42 degrés ; les deux angles ont le même sommet O, le côté commun [OB), et sont situés de part et d'autre de ce côté. L'angle AÔC, qui les contient tous les deux, mesure 90 degrés.48°42°AÔC = 90°OABCcôté commun [OB)AÔB + BÔC = AÔC
Deux angles adjacents et leur somme. Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté commun et sont de part et d'autre de ce côté : leurs mesures s'additionnent, ici 48° + 42° = 90°.

Additionner deux angles adjacents

AOB^ et BOC^ sont adjacents, avec AOB^=42° et BOC^=48°. Calculer AOC^ et le classer.

  1. AOC^=42°+48°=90°.
  2. L'angle AOC^ est donc un angle droit, et les deux angles de départ sont complémentaires.

Les angles complémentaires et supplémentaires

Définition

Angles complémentaires : Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut 90°. Le complémentaire d'un angle de 35° mesure donc 55°.

Définition

Angles supplémentaires : Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut 180°. Le supplémentaire d'un angle de 125° mesure donc 55°.

A^+B^=90°  (compleˊmentaires)A^+B^=180°  (suppleˊmentaires)
Deux angles complémentaires sont forcément aigus ; deux angles supplémentaires ne peuvent pas être obtus tous les deux.
Angles complémentaires et angles supplémentairesEn haut, deux angles adjacents de 35 et 55 degrés forment ensemble un angle droit : ils sont complémentaires. En bas, deux angles adjacents de 55 et 125 degrés forment ensemble un angle plat, c'est-à-dire une droite : ils sont supplémentaires.35°55°35° + 55° = 90°angles complémentaires55°125°125° + 55° = 180°angles supplémentaires
Angles complémentaires et angles supplémentaires. Deux angles complémentaires forment ensemble un angle droit de 90°, deux angles supplémentaires forment ensemble un angle plat de 180°.

Méthode

Calculer le complémentaire ou le supplémentaire

  1. Pour le complémentaire, soustraire la mesure de l'angle à 90°.
  2. Pour le supplémentaire, la soustraire à 180°.

Attention

Deux angles complémentaires ou supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents : ce sont deux propriétés indépendantes. Deux angles de 30° et 60° dessinés dans deux coins opposés d'une feuille sont complémentaires sans se toucher.

Trois calculs

Donner le complémentaire de 35° et de 72°, puis le supplémentaire de 125°.

  1. Complémentaire de 35° : 90°−35°=55°.
  2. Complémentaire de 72° : 90°−72°=18°.
  3. Supplémentaire de 125° : 180°−125°=55°.

Remarque

Un angle de plus de 90° n'a pas de complémentaire, puisque la soustraction donnerait une mesure négative, ce qui n'a pas de sens pour un angle.

Les angles opposés par le sommet

Définition

Angles opposés par le sommet : Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont les prolongements des côtés de l'autre. Deux droites sécantes forment ainsi deux paires d'angles opposés par le sommet.

Propriété

Propriété fondamentale

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Deux droites sécantes et leurs quatre anglesDeux droites se coupent au point O et forment quatre angles. Les deux angles opposés par le sommet mesurent chacun 63 degrés, et les deux autres, également opposés par le sommet, mesurent chacun 117 degrés. Chaque angle de 63 degrés est adjacent à un angle de 117 degrés, avec lequel il forme un angle plat.63°63°117°117°O
Deux droites sécantes et leurs quatre angles. Deux droites sécantes forment deux paires d'angles opposés par le sommet, égaux deux à deux : ici 63° et 63°, 117° et 117°, et la somme des quatre angles vaut 360°.

Retrouver quatre angles

Deux droites se coupent en O et forment quatre angles. L'un d'eux mesure 63°. Donner la mesure des trois autres.

  1. L'angle opposé par le sommet à celui de 63° mesure lui aussi 63°.
  2. Chacun des deux autres est adjacent à un angle de 63° et forme avec lui un angle plat : il mesure donc 180°−63°=117°.
  3. Les quatre angles mesurent donc 63°, 117°, 63° et 117°, et leur somme vaut bien 360°.

La démonstration de cette propriété tient en une ligne : deux angles opposés par le sommet sont tous deux supplémentaires d'un même troisième angle, donc ils ont la même mesure.

La bissectrice d'un angle

Définition

Bissectrice : La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue de son sommet qui le partage en deux angles adjacents de même mesure. Elle est l'axe de symétrie de l'angle.

si [Oz) est la bissectrice de xOy^, alors xOz^=zOy^=xOy^2
La bissectrice coupe l'angle en deux parts égales, exactement comme le milieu coupe un segment.
La bissectrice d'un angleL'angle xÔy mesure 78 degrés. La demi-droite [Oz), tracée depuis le sommet O à l'intérieur de l'angle, le partage en deux angles de 39 degrés chacun, marqués par un même codage à deux arcs.39°39°OxyzxÔy = 78° donc xÔz = zÔy = 39°
La bissectrice d'un angle. La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet qui le partage en deux angles de même mesure : celle d'un angle de 78° forme deux angles de 39°.

Méthode

Construire une bissectrice au compas

  1. Placer la pointe du compas sur le sommet O et tracer un arc qui coupe les deux côtés en A et B.
  2. Placer la pointe sur A et tracer un arc à l'intérieur de l'angle, puis, sans changer l'écartement, faire de même depuis B.
  3. Les deux arcs se coupent en un point M : la demi-droite [OM) est la bissectrice cherchée.

Deux calculs avec une bissectrice

[Oz) est la bissectrice de xOy^. Calculer xOz^ lorsque xOy^=78°, puis calculer xOy^ lorsque xOz^=26°.

  1. Premier cas : xOz^=78°÷2=39°.
  2. Second cas : xOy^=26°×2=52°.

Remarque

La bissectrice d'un angle droit forme deux angles de 45°, ce qui donne une construction de l'angle de 45° à la règle et au compas, sans rapporteur.

Les angles formés par deux droites parallèles et une sécante

Lorsqu'une droite, appelée sécante, coupe deux autres droites, elle forme huit angles. Certaines paires d'entre eux portent un nom, et deviennent égales dès que les deux droites coupées sont parallèles.

Définition

Angles alternes-internes : Deux angles sont alternes-internes lorsqu'ils sont situés entre les deux droites coupées et de part et d'autre de la sécante.

Définition

Angles correspondants : Deux angles sont correspondants lorsqu'ils sont situés du même côté de la sécante, l'un entre les deux droites et l'autre à l'extérieur.

Angles alternes-internes et angles correspondantsDeux droites parallèles horizontales, codées par un même chevron, sont coupées par une sécante oblique. Les deux angles alternes-internes, situés entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante, mesurent 60 degrés chacun. Les deux angles correspondants, situés du même côté de la sécante et à la même position par rapport à chaque droite, mesurent 120 degrés chacun.60°60°120°120°(d₁)(d₂)sécante
Angles alternes-internes et angles correspondants. Deux angles alternes-internes sont situés entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante ; deux angles correspondants sont du même côté de la sécante et occupent la même position sur chacune des deux droites.

Propriété

Propriété des droites parallèles

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes ainsi formés ont la même mesure, et les angles correspondants aussi.

Retrouver une mesure

Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. L'un des angles mesure 115°. Que mesure son alterne-interne ? Et l'angle correspondant ?

  1. L'angle alterne-interne mesure également 115°, puisque les deux droites sont parallèles.
  2. L'angle correspondant mesure lui aussi 115°.
  3. Tout angle adjacent à l'un de ces angles mesure 180°−115°=65°.

Remarque

La réciproque est vraie et sert à démontrer un parallélisme : si deux angles alternes-internes formés par une sécante ont la même mesure, alors les deux droites coupées sont parallèles.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un angle ?

Un angle est la figure formée par deux demi-droites de même origine. Cette origine est le sommet, les deux demi-droites sont les côtés, et la mesure de l'angle, exprimée en degrés, indique l'écartement entre ces côtés. Allonger les côtés ne change pas la mesure de l'angle.

Quelle est la différence entre deux angles complémentaires et deux angles supplémentaires ?

Deux angles complémentaires ont pour somme 90°, deux angles supplémentaires ont pour somme 180°. Le complémentaire de 35° vaut donc 55°, et son supplémentaire vaut 145°. Un angle obtus n'a pas de complémentaire, puisque la soustraction donnerait une mesure négative.

Que sont deux angles adjacents ?

Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Leurs mesures s'additionnent alors : si AOB^=42° et BOC^=48° sont adjacents, alors AOC^=90°.

Pourquoi deux angles opposés par le sommet ont-ils la même mesure ?

Parce qu'ils sont tous les deux supplémentaires d'un même troisième angle. Chacun forme avec cet angle intermédiaire un angle plat de 180°, donc chacun vaut 180° moins la mesure de cet angle intermédiaire : ils sont égaux.

Comment construire la bissectrice d'un angle au compas ?

On trace d'abord un arc centré sur le sommet, qui coupe les deux côtés en deux points. Depuis chacun de ces deux points, et sans changer l'écartement du compas, on trace un arc à l'intérieur de l'angle. La demi-droite qui joint le sommet au point d'intersection des deux arcs est la bissectrice.

Comment éviter de se tromper en lisant un rapporteur ?

Le rapporteur porte deux séries de graduations, en sens inverse l'une de l'autre. Avant de lire, il faut regarder si l'angle est aigu ou obtus : une mesure de 130° annoncée pour un angle visiblement aigu signale qu'on a lu la mauvaise série, et que la bonne valeur est 180°−130°=50°.

Comment mesurer un angle avec un rapporteur ?

On place le centre du rapporteur exactement sur le sommet de l'angle, puis la graduation 0 sur l'un des deux côtés. On lit enfin la mesure là où le second côté traverse les graduations, en suivant la série de nombres qui part du 0 choisi.

Comment reconnaître un angle aigu, droit ou obtus ?

On le compare à l'angle droit, qui mesure 90°. Un angle aigu mesure moins de 90°, un angle droit exactement 90° et se code par un petit carré au sommet, un angle obtus entre 90° et 180°. Un angle plat, dont les deux côtés forment une droite, mesure 180°.

Que sont deux angles alternes-internes et deux angles correspondants ?

Deux angles alternes-internes sont situés entre les deux droites coupées et de part et d'autre de la sécante. Deux angles correspondants sont du même côté de la sécante, l'un entre les deux droites et l'autre à l'extérieur. Lorsque les deux droites coupées sont parallèles, les angles de chacune de ces deux paires ont la même mesure.

Combien mesurent les quatre angles formés par deux droites sécantes ?

Leur somme vaut 360°, et ils se répartissent en deux paires d'angles égaux, opposés par le sommet. Si l'un des quatre angles mesure 63°, alors son opposé mesure 63° lui aussi, et les deux autres mesurent chacun 180°−63°=117°.

Quiz : 20 questions sur ce chapitre

20 questions tirées au hasard parmi les 40 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1Dans l'angle MNP^, quel point est le sommet ?

Exercices corrigés

30 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile
  1. Dans l'angle MNP^, quel est le sommet ?
  2. Écrire de deux façons différentes l'angle de sommet O dont les côtés passent par A et B.
  3. Les angles AOB^ et OAB^ sont-ils le même angle ?

Correction

1. Le sommet est N, la lettre placée au milieu.

2. AOB^ ou BOA^.

3. Non. Le premier a pour sommet O, le second a pour sommet A : ce sont deux angles différents de la figure.

Exercice 2

Facile

Classer chaque angle : nul, aigu, droit, obtus ou plat.

  1. 35°
  2. 90°
  3. 128°
  4. 180°
  5. 7°

Correction

1. Aigu.

2. Droit.

3. Obtus.

4. Plat.

5. Aigu.

Exercice 3

Facile

Donner le complémentaire de chaque angle.

  1. 35°
  2. 72°
  3. 18°
  4. 45°

Correction

1. 90°−35°=55°.

2. 90°−72°=18°.

3. 90°−18°=72°.

4. 90°−45°=45°, l'angle est son propre complémentaire.

Exercice 4

Facile

Donner le supplémentaire de chaque angle.

  1. 125°
  2. 60°
  3. 90°
  4. 17°

Correction

1. 180°−125°=55°.

2. 180°−60°=120°.

3. 180°−90°=90°.

4. 180°−17°=163°.

Exercice 5

Facile

AOB^ et BOC^ sont deux angles adjacents.

  1. Calculer AOC^ si AOB^=42° et BOC^=48°.
  2. Calculer BOC^ si AOC^=110° et AOB^=35°.

Correction

1. AOC^=42°+48°=90° : c'est un angle droit.

2. BOC^=110°−35°=75°.

Exercice 6

Facile

[Oz) est la bissectrice de l'angle xOy^.

  1. Calculer xOz^ si xOy^=78°.
  2. Calculer xOy^ si xOz^=26°.
  3. Combien mesure chaque moitié d'un angle droit coupé par sa bissectrice ?

Correction

1. 78°÷2=39°.

2. 26°×2=52°.

3. 90°÷2=45°.

Exercice 7

Facile

Deux droites se coupent en O et forment quatre angles. L'un d'eux mesure 63°.

  1. Que mesure l'angle qui lui est opposé par le sommet ?
  2. Que mesurent les deux autres angles ?

Correction

1. 63°, puisque deux angles opposés par le sommet sont égaux.

2. Chacun est supplémentaire d'un angle de 63° : il mesure 180°−63°=117°.

Exercice 8

Facile
  1. Un angle de 95° est obtus.
  2. Deux angles complémentaires sont toujours adjacents.
  3. Un angle plat mesure 360°.
  4. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Correction

1. Vrai. Il est compris entre 90° et 180°.

2. Faux. Être complémentaires ne concerne que la somme des mesures ; les deux angles peuvent être dessinés n'importe où.

3. Faux. Un angle plat mesure 180° ; 360° est un angle plein.

4. Vrai. C'est la propriété fondamentale des angles opposés par le sommet.

Exercice 9

Facile

Deux angles complémentaires sont tels que l'un mesure 28° de plus que l'autre.

  1. Quelle est la somme des deux angles ?
  2. Calculer la mesure de chacun.

Correction

1. Ils sont complémentaires, donc leur somme vaut 90°.

2. Si on retire l'écart de 28°, il reste 90°−28°=62° à partager en deux parts égales, soit 31° chacune. Le plus petit angle mesure 31° et le plus grand 31°+28°=59°.

Vérification : 31°+59°=90°.

Exercice 10

Facile

Un élève mesure un angle visiblement aigu et annonce 130°.

  1. Son résultat est-il plausible ?
  2. Quelle est probablement la bonne mesure ?
  3. Quelle erreur a-t-il commise ?

Correction

1. Non. Un angle aigu mesure moins de 90° : 130° correspondrait à un angle obtus.

2. Probablement 180°−130°=50°.

3. Il a lu la mauvaise série de graduations du rapporteur, celle qui part de l'autre côté.

Exercice 11

Moyen

Autour d'un point O, trois angles adjacents AOB^, BOC^ et COD^ forment un angle plat AOD^.

  1. Écrire la relation qui lie les trois angles.
  2. Calculer COD^ si AOB^=47° et BOC^=68°.

Correction

1. AOB^+BOC^+COD^=180°.

2. COD^=180°−47°−68°=65°.

Exercice 12

Moyen

Quatre angles adjacents se partagent tout le tour d'un point. Trois d'entre eux mesurent 85°, 110° et 72°.

  1. Quelle est la somme des quatre angles ?
  2. Calculer la mesure du quatrième.
  3. Ce quatrième angle est-il aigu, droit ou obtus ?

Correction

1. Un tour complet vaut 360°.

2. 360°−85°−110°−72°=93°.

3. Il est obtus, puisque 93° dépasse 90°.

Exercice 13

Moyen

On considère un angle de 37°.

  1. Calculer son complémentaire.
  2. Calculer son supplémentaire.
  3. Quelle est la différence entre les deux résultats ? Cette différence dépend-elle de l'angle choisi ?

Correction

1. 90°−37°=53°.

2. 180°−37°=143°.

3. La différence vaut 143°−53°=90°. Elle ne dépend pas de l'angle : (180°−a)−(90°−a)=90° quelle que soit la mesure a.

Exercice 14

Moyen

[Oz) est la bissectrice de xOy^, et xOy^=64°.

  1. Calculer xOz^.
  2. Calculer le complémentaire de xOz^.
  3. Calculer le supplémentaire de xOy^.

Correction

1. 64°÷2=32°.

2. 90°−32°=58°.

3. 180°−64°=116°.

Exercice 15

Moyen

Deux droites se coupent en O. Un des quatre angles formés mesure 2 fois le suivant.

  1. Quelle est la somme de ces deux angles adjacents ?
  2. Calculer la mesure de chacun.
  3. Donner la mesure des quatre angles.

Correction

1. Deux angles adjacents formés par deux droites sécantes forment un angle plat : leur somme vaut 180°.

2. En appelant a le plus petit, le second vaut 2a, donc a+2a=180°, soit 3a=180° et a=60°. Les deux angles mesurent 60° et 120°.

3. Par les angles opposés par le sommet, les quatre angles mesurent 60°, 120°, 60° et 120°.

Exercice 16

Moyen

Deux droites parallèles (d) et (d′) sont coupées par une sécante. Un des angles formés mesure 115°.

  1. Que mesure son angle alterne-interne ?
  2. Que mesure son angle correspondant ?
  3. Que mesure un angle adjacent à celui de 115° ?

Correction

1. 115°, car les droites sont parallèles.

2. 115° également.

3. 180°−115°=65°.

Exercice 17

Moyen

Une sécante coupe deux droites (d) et (d′). Deux angles alternes-internes mesurent respectivement 72° et 72°.

  1. Que peut-on en déduire ?
  2. Et si les deux angles mesuraient 72° et 75° ?

Correction

1. Les deux angles alternes-internes ont la même mesure, donc les droites (d) et (d′) sont parallèles. C'est la réciproque de la propriété du cours.

2. Les mesures diffèrent, donc les droites ne sont pas parallèles : elles finissent par se couper.

Exercice 18

Moyen

Décrire la construction de chacun de ces angles.

  1. Un angle de 90° sans rapporteur.
  2. Un angle de 45° sans rapporteur.
  3. Un angle de 130°.

Correction

1. À l'équerre : on trace une droite, puis on place l'équerre pour tracer la perpendiculaire.

2. On construit d'abord un angle droit, puis on trace sa bissectrice au compas : les deux moitiés mesurent 45°.

3. Au rapporteur : on trace [Ox), on place le centre du rapporteur sur O et la graduation 0 sur [Ox), on marque le point à 130° et on trace la demi-droite. On vérifie ensuite que l'angle obtenu est bien obtus.

Exercice 19

Moyen

Dans un triangle rectangle, les deux angles autres que l'angle droit sont complémentaires.

  1. Justifier cette affirmation, sachant que la somme des angles d'un triangle vaut 180°.
  2. Un triangle rectangle a un angle de 37°. Calculer le troisième angle.
  3. Un triangle rectangle peut-il avoir un angle obtus ?

Correction

1. La somme des trois angles vaut 180°, et l'un d'eux vaut 90°. Les deux autres ont donc pour somme 180°−90°=90° : ils sont complémentaires.

2. 90°−37°=53°.

3. Non. Un angle obtus dépasserait 90°, et la somme des trois angles dépasserait alors 180°.

Exercice 20

Moyen

Un angle de 120° est partagé par deux demi-droites en trois angles adjacents de même mesure.

  1. Combien mesure chacun de ces trois angles ?
  2. Ces demi-droites sont-elles des bissectrices de l'angle de départ ?
  3. Quelle est la mesure de l'angle formé par les deux premières parts réunies ?

Correction

1. 120°÷3=40°.

2. Non. Une bissectrice partage un angle en deux parts égales, pas en trois. Aucune des deux demi-droites ne coupe l'angle en deux moitiés.

3. 40°+40°=80°.

Exercice 21

Moyen

Le cadran d'une horloge est partagé en 12 intervalles égaux par les chiffres des heures.

  1. Quel angle sépare deux chiffres consécutifs ?
  2. Quel angle forment les aiguilles à 3 h précises ?
  3. Quel angle forment-elles à 5 h précises ?

Correction

1. 360°÷12=30°.

2. À 3 h, les aiguilles sont séparées de 3 intervalles : 3×30°=90°, un angle droit.

3. À 5 h, elles sont séparées de 5 intervalles : 5×30°=150°, un angle obtus.

Exercice 22

Moyen

Dire, pour chaque situation, si les deux angles sont adjacents, et justifier.

  1. Ils ont le même sommet et un côté commun, mais sont du même côté de ce côté commun.
  2. Ils ont le même sommet, un côté commun, et sont de part et d'autre de ce côté.
  3. Ils ont la même mesure mais des sommets différents.

Correction

1. Non adjacents. La troisième condition manque : l'un est contenu dans l'autre, ils se recouvrent au lieu de se juxtaposer.

2. Adjacents. Les trois conditions sont réunies.

3. Non adjacents. Sans sommet commun, la question ne se pose même pas ; l'égalité des mesures n'a rien à voir avec l'adjacence.

Exercice 23

Difficile

Deux angles supplémentaires sont tels que le premier mesure 4 fois le second.

  1. Écrire la relation entre les deux angles.
  2. Calculer la mesure de chacun.
  3. Classer chacun de ces deux angles.
  4. Que vaudrait le complémentaire du plus petit ?

Correction

1. En appelant a le second angle, le premier vaut 4a, et a+4a=180°.

2. 5a=180°, donc a=36° et le premier angle vaut 4×36°=144°.

3. 36° est aigu, 144° est obtus.

4. 90°−36°=54°.

Exercice 24

Difficile

Deux droites (AB) et (CD) se coupent en O. La demi-droite [OE) est la bissectrice de l'angle AOC^, et AOC^=70°.

  1. Calculer AOE^.
  2. Calculer BOD^.
  3. Calculer AOD^.
  4. Calculer EOD^.

Correction

1. AOE^=70°÷2=35°.

2. BOD^ est opposé par le sommet à AOC^ : il mesure donc 70°.

3. AOD^ est adjacent à AOC^ et forme avec lui l'angle plat COD^ : AOD^=180°−70°=110°.

4. EOD^=EOA^+AOD^=35°+110°=145°.

Exercice 25

Difficile

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, et le justifier.

  1. Un angle de 120° possède un complémentaire.
  2. Deux angles supplémentaires peuvent être tous les deux obtus.
  3. La bissectrice d'un angle plat forme deux angles droits.
  4. Si deux angles ont la même mesure, ils sont opposés par le sommet.

Correction

1. Faux. Il faudrait calculer 90°−120°, ce qui donnerait une mesure négative, impossible pour un angle. Seuls les angles aigus ont un complémentaire.

2. Faux. Deux angles obtus dépassent chacun 90°, donc leur somme dépasserait 180°. Au plus l'un des deux peut être obtus.

3. Vrai. Un angle plat mesure 180°, et sa bissectrice le partage en deux angles de 90°.

4. Faux. L'égalité des mesures ne dit rien de la position des angles sur la figure. Deux angles de 40° dessinés dans deux coins d'une feuille ne sont opposés par aucun sommet.

Exercice 26

Difficile

Dans un triangle ABC, on sait que A^=80° et B^=60°. On rappelle que la somme des angles d'un triangle vaut 180°.

  1. Calculer C^.
  2. La bissectrice de A^ partage cet angle en deux. Combien mesure chaque part ?
  3. Même question pour B^ et C^.
  4. Quelle est la somme des six angles obtenus ?

Correction

1. C^=180°−80°−60°=40°.

2. 80°÷2=40°.

3. Pour B^ : 60°÷2=30°. Pour C^ : 40°÷2=20°.

4. Chaque angle a été partagé en deux sans rien perdre : la somme des six angles vaut donc encore 180°. On le vérifie : 2×(40°+30°+20°)=2×90°=180°.

Exercice 27

Difficile

Trois droites (d1), (d2) et (d3) sont telles que (d1) est parallèle à (d2), et (d2) est parallèle à (d3). Une sécante les coupe toutes les trois. L'angle qu'elle forme avec (d1) mesure 58°.

  1. Que peut-on dire de (d1) et (d3) ?
  2. Quel angle la sécante forme-t-elle avec (d2) ?
  3. Et avec (d3) ?
  4. Quel est le supplémentaire de chacun de ces angles ?

Correction

1. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles : (d1) et (d3) sont donc parallèles.

2. Les angles correspondants formés par la sécante avec deux parallèles sont égaux : l'angle vaut 58°.

3. Pour la même raison, 58° également.

4. 180°−58°=122° dans les trois cas.

Exercice 28

Difficile

Résoudre chaque situation.

  1. Un angle mesure 3 fois son complémentaire. Combien mesure-t-il ?
  2. Un angle mesure 30° de moins que son supplémentaire. Combien mesure-t-il ?
  3. Un angle est égal à son supplémentaire. Combien mesure-t-il ?

Correction

1. En appelant a le complémentaire, l'angle vaut 3a et a+3a=90°. Donc 4a=90°, soit a=22,5°, et l'angle mesure 67,5°.

2. En appelant a l'angle, son supplémentaire vaut a+30°, et a+(a+30°)=180°. Donc 2a=150° et a=75°. Son supplémentaire vaut 105°.

3. Si a=180°−a, alors 2a=180° et a=90° : seul l'angle droit est égal à son supplémentaire.

Exercice 29

Difficile

Une rampe d'escalier forme un angle de 32° avec l'horizontale. Un poteau vertical la soutient.

  1. Quel angle la rampe forme-t-elle avec le poteau ?
  2. Justifier en nommant la propriété utilisée.
  3. Une seconde rampe, parallèle à la première, croise un autre poteau vertical. Quel angle forme-t-elle avec ce poteau ?

Correction

1. Le poteau est vertical et le sol horizontal : ils forment un angle droit. La rampe forme 32° avec le sol, donc 90°−32°=58° avec le poteau.

2. On a utilisé la propriété des angles complémentaires : dans le triangle rectangle formé par le sol, le poteau et la rampe, les deux angles autres que l'angle droit ont pour somme 90°.

3. Les deux poteaux sont tous deux verticaux, donc parallèles, et les deux rampes aussi. L'angle est donc le même : 58°.

Exercice 30

Difficile

Un rayon lumineux frappe un miroir plan. La loi de la réflexion indique que l'angle formé par le rayon entrant avec le miroir est égal à celui formé par le rayon sortant. Le rayon entrant fait un angle de 35° avec le miroir.

  1. Quel angle le rayon sortant forme-t-il avec le miroir ?
  2. Quel angle les deux rayons forment-ils entre eux ?
  3. Quel angle le rayon entrant forme-t-il avec la perpendiculaire au miroir ?
  4. Pour quelle valeur de l'angle d'entrée le rayon repartirait-il exactement par où il est venu ?

Correction

1. 35° également, d'après la loi de la réflexion.

2. Les trois angles autour du point d'impact, du même côté du miroir, forment un angle plat : l'angle entre les deux rayons vaut 180°−35°−35°=110°.

3. La perpendiculaire au miroir forme 90° avec lui, donc l'angle cherché vaut 90°−35°=55°.

4. Pour un angle d'entrée de 90° : le rayon arrive perpendiculairement au miroir et repart sur la même droite. L'angle entre les deux rayons vaut alors 180°−90°−90°=0°.