Les nombres complexes

Q: Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?

Un nombre complexe est un nombre de la forme z = a + ib, où a et b sont des nombres réels et où i vérifie i² = -1. L'ensemble des nombres complexes, noté ℂ, contient l'ensemble des réels et permet de résoudre toutes les équations du second degré.

Q: Comment calculer le module d'un nombre complexe ?

Le module de z = a + ib vaut |z| = √(a² + b²). Géométriquement, c'est la distance entre l'origine du repère et le point d'affixe z.

Q: Comment mettre un nombre complexe sous forme exponentielle ?

On calcule d'abord le module r = |z|, puis un argument θ en résolvant simultanément cosθ = a/r et sinθ = b/r. Le nombre s'écrit alors z = reiθ.

Q: Comment résoudre une équation du second degré à discriminant négatif ?

Lorsque Δ < 0, on remplace √(Δ) par i√(-Δ). Les deux solutions sont alors z1,2 = -b ± i√(-Δ)2a, et elles sont toujours conjuguées l'une de l'autre lorsque les coefficients sont réels.

Q: À quoi servent les nombres complexes en géométrie ?

Ils permettent de traduire distances et angles en calculs algébriques : AB = |z_B - z_A|, et l'argument du quotient z_C - z_A/z_B - z_A donne l'angle en A. Un quotient réel signale un alignement, un quotient imaginaire pur une perpendicularité.

Un nombre complexe est un nombre de la forme $z = a + i b$ , où $a$ et $b$ sont réels et où $i$ est un nombre imaginaire vérifiant $i^{2} = - 1$ . Cette seule convention suffit à donner une solution à toute équation du second degré, et fournit un langage d'une efficacité remarquable pour décrire les transformations du plan.

Mis à jour le 14 août 2026

Dans le plan complexe, le module d'un nombre est sa distance à l'origine et son argument l'angle qu'il forme avec l'axe des réels. Programme de 2ème Bac sciences physiques, semestre 2.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Maîtriser les opérations sous forme algébrique, y compris l'inverse et le quotient
Calculer le module et un argument d'un nombre complexe
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et exponentielle
Résoudre dans ℂ une équation du second degré à coefficients réels
Interpréter géométriquement module, argument et opérations

PrérequisLe calcul trigonométrique et le cercle trigonométrique · Les vecteurs et le repère orthonormé du plan · Les identités remarquables et le discriminant du second degré

L'ensemble ℂ et la forme algébrique

Définition

Nombre complexe : Il existe un ensemble noté $C$ , contenant $R$ , muni d'une addition et d'une multiplication prolongeant celles de $R$ , et contenant un élément $i$ tel que $i^{2} = - 1$ . Tout élément $z$ de $C$ s'écrit de manière unique sous la forme $z = a + i b$ avec $a, b \in R$ .

Le réel $a$ est la partie réelle de $z$ , notée $R e (z)$  ; le réel $b$ est sa partie imaginaire, notée $I m (z)$ . Attention : la partie imaginaire est un nombre réel, elle ne contient pas le $i$ .

Propriété

Égalité de deux complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. En particulier, $z = 0 ⟺ R e (z) = 0$ et $I m (z) = 0$ .

Définition

Conjugué : Le conjugué de $z = a + i b$ est $\overset{ˉ}{z} = a - i b$ . Il vérifie $z \overset{ˉ}{z} = a^{2} + b^{2}$ , qui est un réel positif.

Propriété

Propriétés du conjugué

$\overline{z + z^{'}} = \overset{ˉ}{z} + \overline{z^{'}}$ , $\overline{z z^{'}} = \overset{ˉ}{z} \overline{z^{'}}$ , $\overline{(\frac{z}{z^{'}})} = \frac{\overset{ˉ}{z}}{\overline{z^{'}}}$ et $\overset{ˉ}{\overset{ˉ}{z}} = z$ . De plus $z \in R ⟺ \overset{ˉ}{z} = z$ , et $z$ est imaginaire pur $⟺ \overset{ˉ}{z} = - z$ .

Méthode

Calculer un quotient sous forme algébrique

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Le dénominateur devient $z^{'} \overline{z^{'}} = a^{' 2} + b^{' 2}$ , un réel.
Développer le numérateur en utilisant $i^{2} = - 1$ .
Séparer partie réelle et partie imaginaire.

Exemple

Écrire $z = \frac{3 + i}{1 - 2 i}$ sous forme algébrique.

On multiplie haut et bas par $1 + 2 i$ : $z = \frac{(3 + i) (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$ .
Dénominateur : $1^{2} + 2^{2} = 5$ .
Numérateur : $3 + 6 i + i + 2 i^{2} = 3 + 7 i - 2 = 1 + 7 i$ .
Donc $z = \frac{1 + 7 i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{7}{5} i$ .

Dans le plan complexe, le module d'un nombre est sa distance à l'origine et son argument l'angle qu'il forme avec l'axe des réels. Programme de 2ème Bac sciences physiques, semestre 2.

Module et argument

Définition

Module : Le module de $z = a + i b$ est le réel positif $∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Si $M$ est le point d'affixe $z$ , alors $∣ z ∣ = O M$ : le module est la distance à l'origine.

Propriété

Propriétés du module

$∣ z ∣ = 0 ⟺ z = 0$  ; $∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣ ∣ z^{'} ∣$  ; $∣ \frac{z}{z^{'}} ∣ = \frac{∣ z ∣}{∣ z^{'} ∣}$  ; $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$  ; $∣ \overset{ˉ}{z} ∣ = ∣ z ∣$ et $z \overset{ˉ}{z} = ∣ z ∣^{2}$ .

Définition

Argument : Pour $z \neq 0$ , un argument de $z$ est une mesure $θ$ de l'angle orienté $(\vec{u}; \vec{O M})$ , où $M$ est le point d'affixe $z$ . On note $\arg (z) \equiv θ [2 π]$ .

\cos θ = \frac{a}{∣ z ∣} et \sin θ = \frac{b}{∣ z ∣}

Le système qui détermine un argument. Les deux équations sont nécessaires : le cosinus seul laisse deux possibilités.

Attention

Le nombre $0$ n'a pas d'argument, car aucun angle n'est défini pour le vecteur nul. Un argument n'est par ailleurs défini que modulo $2 π$ .

Forme trigonométrique et forme exponentielle

Propriété

Les trois écritures d'un même nombre

Tout complexe non nul $z$ de module $r$ et d'argument $θ$ s'écrit $z = a + i b$ (forme algébrique), $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ (forme trigonométrique) et $z = r e^{i θ}$ (forme exponentielle).

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

La notation d'Euler. Elle transforme les produits d'angles en sommes d'exposants.

Propriété

Règles de calcul en forme exponentielle

$r e^{i θ} \times r^{'} e^{i θ^{'}} = r r^{'} e^{i (θ + θ^{'})}$  ; $\frac{r e^{i θ}}{r^{'} e^{i θ^{'}}} = \frac{r}{r^{'}} e^{i (θ - θ^{'})}$  ; et la formule de Moivre : ${(r e^{i θ})}^{n} = r^{n} e^{i n θ}$ .

Passer à la forme exponentielle

Écrire $z = 1 + i \sqrt{3}$ sous forme trigonométrique puis exponentielle.

Module : $∣ z ∣ = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{4} = 2$ .
Argument : $\cos θ = \frac{1}{2}$ et $\sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , donc $θ = \frac{π}{3}$ .
Forme trigonométrique : $z = 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$ .
Forme exponentielle : $z = 2 e^{i π / 3}$ .

Remarque

La forme exponentielle est celle qu'il faut privilégier pour toute puissance : calculer $(1 + i \sqrt{3})^{12}$ par la forme algébrique est très long, alors que ${(2 e^{i π / 3})}^{12} = 2^{12} e^{4 i π} = 4096$ est immédiat.

Équation du second degré à coefficients réels

Propriété

Résolution dans ℂ

Soit $a z^{2} + b z + c = 0$ avec $a, b, c$ réels et $a \neq 0$ , de discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Si $Δ \geq 0$ , les solutions sont réelles. Si $Δ < 0$ , l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $z_{1, 2} = \frac{- b \pm i \sqrt{- Δ}}{2 a}$ .

Exemple

Résoudre dans $C$ l'équation $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ .

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = - 16$ , strictement négatif.
$\sqrt{- Δ} = \sqrt{16} = 4$ .
Les solutions sont $z_{1} = \frac{2 + 4 i}{2} = 1 + 2 i$ et $z_{2} = \frac{2 - 4 i}{2} = 1 - 2 i$ .
Elles sont bien conjuguées l'une de l'autre.

Interprétation géométrique

Propriété

Distances et angles

Si $A$ et $B$ ont pour affixes $z_{A}$ et $z_{B}$ , alors $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ . Et pour quatre points distincts, $\arg (\frac{z_{D} - z_{C}}{z_{B} - z_{A}})$ est une mesure de l'angle entre $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ .

Condition sur les affixes	Interprétation géométrique
$\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} \in R$	$A$ , $B$ , $C$ sont alignés
$\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ imaginaire pur	$(A B)$ et $(A C)$ sont perpendiculaires
$∣ \frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} ∣ = 1$	$A B = A C$ : le triangle est isocèle en $A$
$∣ z - z_{0} ∣ = r$	$M$ décrit le cercle de centre $Ω (z_{0})$ et de rayon $r$

Traduire une condition géométrique en condition sur les affixes est le cœur des exercices de l'examen national.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?

Un nombre complexe est un nombre de la forme

z = a + i b

, où

a

b

sont des nombres réels et où

i

vérifie

i^{2} = - 1

. L'ensemble des nombres complexes, noté

C

, contient l'ensemble des réels et permet de résoudre toutes les équations du second degré.

Comment calculer le module d'un nombre complexe ?

Le module de

z = a + i b

vaut

∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

. Géométriquement, c'est la distance entre l'origine du repère et le point d'affixe

z

Comment mettre un nombre complexe sous forme exponentielle ?

On calcule d'abord le module

r = ∣ z ∣

, puis un argument

θ

en résolvant simultanément

\cos θ = \frac{a}{r}

\sin θ = \frac{b}{r}

. Le nombre s'écrit alors

z = r e^{i θ}

Comment résoudre une équation du second degré à discriminant négatif ?

Lorsque

Δ < 0

, on remplace

\sqrt{Δ}

par

i \sqrt{- Δ}

. Les deux solutions sont alors

z_{1, 2} = \frac{- b \pm i \sqrt{- Δ}}{2 a}

, et elles sont toujours conjuguées l'une de l'autre lorsque les coefficients sont réels.

À quoi servent les nombres complexes en géométrie ?

Ils permettent de traduire distances et angles en calculs algébriques :

A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣

, et l'argument du quotient

\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}

donne l'angle en

A

. Un quotient réel signale un alignement, un quotient imaginaire pur une perpendicularité.

Exercices corrigés

4 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Écrire sous forme algébrique : a. $(2 + 3 i) (1 - i)$  ; b. $\frac{2 - i}{3 + i}$  ; c. $i^{2026}$ .

Correction

a. $(2 + 3 i) (1 - i) = 2 - 2 i + 3 i - 3 i^{2} = 2 + i + 3 = 5 + i$ .

b. On multiplie par le conjugué $3 - i$ : le dénominateur devient $3^{2} + 1^{2} = 10$ , et le numérateur $(2 - i) (3 - i) = 6 - 2 i - 3 i + i^{2} = 5 - 5 i$ .

\frac{2 - i}{3 + i} = \frac{5 - 5 i}{10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

c. Les puissances de $i$ sont périodiques de période $4$ . Comme $2026 = 4 \times 506 + 2$ , on a $i^{2026} = i^{2} = - 1$ .

Exercice 2

Moyen

Soit $z = - \sqrt{3} + i$ . Calculer $∣ z ∣$ , déterminer un argument de $z$ , puis écrire $z$ sous forme exponentielle. En déduire $z^{6}$ .

Correction

Module : $∣ z ∣ = \sqrt{(- \sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2$ .

Argument : $\cos θ = \frac{- \sqrt{3}}{2}$ et $\sin θ = \frac{1}{2}$ . Le cosinus est négatif et le sinus positif : $θ$ est dans le deuxième quadrant, donc $θ = \frac{5 π}{6}$ .

z = 2 e^{i \frac{5 π}{6}}

D'après la formule de Moivre : $z^{6} = 2^{6} e^{i \times 6 \times \frac{5 π}{6}} = 64 e^{5 i π}$ .

Or $5 π \equiv π [2 π]$ , donc $e^{5 i π} = e^{i π} = - 1$ . Finalement $z^{6} = - 64$ .

Exercice 3

Moyen

Résoudre dans $C$ : a. $z^{2} + 4 z + 13 = 0$  ; b. $2 z^{2} - 2 z + 1 = 0$ .

Correction

a. $Δ = 16 - 52 = - 36$ , donc $\sqrt{- Δ} = 6$ . Les solutions sont $z = \frac{- 4 \pm 6 i}{2}$ , soit $z_{1} = - 2 + 3 i$ et $z_{2} = - 2 - 3 i$ .

b. $Δ = 4 - 8 = - 4$ , donc $\sqrt{- Δ} = 2$ . Les solutions sont $z = \frac{2 \pm 2 i}{4}$ , soit $z_{1} = \frac{1 + i}{2}$ et $z_{2} = \frac{1 - i}{2}$ .

Exercice 4

Difficile

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_{A} = 1 + i$ , $z_{B} = 4 + 2 i$ et $z_{C} = 2 i$ .

Calculer $A B$ et $A C$ .
Calculer le nombre complexe $Z = \frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ .
En déduire la nature précise du triangle $A B C$ .

Correction

1. $z_{B} - z_{A} = (4 + 2 i) - (1 + i) = 3 + i$ , donc $A B = ∣ 3 + i ∣ = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ .

$z_{C} - z_{A} = 2 i - (1 + i) = - 1 + i$ , donc $A C = ∣ - 1 + i ∣ = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ .

2. On calcule le quotient en multipliant par le conjugué :

Z = \frac{- 1 + i}{3 + i} = \frac{(- 1 + i) (3 - i)}{10} = \frac{- 3 + i + 3 i - i^{2}}{10} = \frac{- 2 + 4 i}{10} = \frac{- 1 + 2 i}{5}

3. $Z$ n'est ni réel ni imaginaire pur : les points ne sont donc ni alignés, ni tels que $(A B) ⊥ (A C)$ .

De plus $∣ Z ∣ = \frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \neq 1$ , donc le triangle n'est pas isocèle en $A$ .

Vérifions enfin le troisième côté : $z_{C} - z_{B} = 2 i - (4 + 2 i) = - 4$ , donc $B C = 4$ . Comme $A B^{2} + A C^{2} = 10 + 2 = 12 \neq 16 = B C^{2}$ , le triangle n'est pas non plus rectangle en $A$ .

Les trois côtés $\sqrt{10}$ , $\sqrt{2}$ et $4$ étant deux à deux distincts et la réciproque de Pythagore ne s'appliquant pour aucun sommet, le triangle $A B C$ est quelconque.