Les limites d'une fonction numérique

Q: Qu'est-ce qu'une limite en mathématiques ?

La limite d'une fonction f en un point a est la valeur dont f(x) se rapproche autant qu'on le souhaite lorsque x se rapproche de a. On note limx a f(x) =. La fonction n'a pas besoin d'être définie en a pour y admettre une limite.

Q: Quelles sont les quatre formes indéterminées ?

Ce sont ∞ - ∞, ∞/∞, 0 × ∞ et 0/0. Dans ces quatre cas, les théorèmes d'opérations sur les limites ne permettent pas de conclure : il faut transformer l'expression, par factorisation, quantité conjuguée ou mise en facteur du terme dominant.

Q: Comment lever une forme indéterminée 0/0 ?

On factorise le numérateur et le dénominateur par (x - a), où a est la valeur qui les annule tous les deux, puis on simplifie. La simplification est licite car on calcule la limite pour x ≠ a.

Dire que $\lim_{x \to a} f (x) = ℓ$ signifie que les valeurs de $f (x)$ deviennent aussi proches de $ℓ$ que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$ . La notion de limite est le socle de toute l'analyse du baccalauréat : continuité, dérivation, asymptotes et calcul intégral en découlent.

Mis à jour le 14 août 2026

Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment sans jamais l'atteindre. Programme de 2ème Bac sciences physiques, semestre 1.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Calculer une limite en un point et en l'infini
Utiliser les opérations sur les limites et reconnaître les quatre formes indéterminées
Lever une indétermination par factorisation, par la quantité conjuguée ou par le terme dominant
Déterminer les asymptotes d'une courbe à partir des limites

PrérequisLes limites étudiées en 1ère Bac · La factorisation et les identités remarquables · L'étude du signe d'un trinôme du second degré

Limite en l'infini

Définition

Limite finie en $+ \infty$ : On dit que $f$ admet pour limite le réel $ℓ$ en $+ \infty$ , et on note $\lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ , lorsque tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient toutes les valeurs $f (x)$ dès que $x$ est assez grand.

Propriété

Limites usuelles en $+ \infty$

Pour tout entier $n \geq 1$ : $\lim_{x \to + \infty} x^{n} = + \infty$ , $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x^{n}} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x} = + \infty$ .

Propriété

Limite d'un polynôme et d'une fraction rationnelle en l'infini

En $+ \infty$ et en $- \infty$ , un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fraction rationnelle la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Exemple

Calculer $\lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} - 5 x + 1}{2 x^{2} + 7}$ .

Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+ \infty$ : c'est une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ .
On applique la règle du terme dominant : $\frac{3 x^{2}}{2 x^{2}} = \frac{3}{2}$ .
Donc $\lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} - 5 x + 1}{2 x^{2} + 7} = \frac{3}{2}$ .

Attention

La règle du terme dominant ne vaut qu'en l'infini. En un point fini, elle donne systématiquement un résultat faux : il faut alors factoriser.

Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment sans jamais l'atteindre. Programme de 2ème Bac sciences physiques, semestre 1.

Limite en un point

Lorsque $f$ est définie en $a$ et continue en ce point, la limite se calcule par simple substitution : $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ . Le travail réel commence quand la substitution donne une forme indéterminée.

Définition

Limite à droite, limite à gauche : $\lim_{x \to a^{+}} f (x)$ désigne la limite lorsque $x$ tend vers $a$ en restant strictement supérieur à $a$ , et $\lim_{x \to a^{-}} f (x)$ lorsque $x$ reste strictement inférieur à $a$ . La limite en $a$ existe si et seulement si ces deux limites existent et sont égales.

Limites à gauche et à droite

Étudier les limites de $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ en $2$ .

Si $x \to 2^{+}$ , alors $x - 2 \to 0$ en restant positif, donc $\frac{1}{x - 2} \to + \infty$ .
Si $x \to 2^{-}$ , alors $x - 2 \to 0$ en restant négatif, donc $\frac{1}{x - 2} \to - \infty$ .
Les deux limites diffèrent : $f$ n'admet pas de limite en $2$ , mais la droite d'équation $x = 2$ est asymptote verticale à la courbe.

Les quatre formes indéterminées

Forme	Exemple typique	Technique de levée
$\infty - \infty$	$\sqrt{x^{2} + x} - x$	quantité conjuguée, ou factorisation par le terme dominant
$\frac{\infty}{\infty}$	$\frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$	terme de plus haut degré
$0 \times \infty$	$x \times \frac{1}{x^{2}}$	réécriture en quotient, puis simplification
$\frac{0}{0}$	$\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$	factorisation par $(x - a)$ , puis simplification

Reconnaître la forme indéterminée détermine immédiatement la technique à employer.

Lever une indétermination de la forme 0/0

Méthode

Vérifier que $a$ annule bien le numérateur et le dénominateur.
Factoriser chacun des deux par $(x - a)$ : identité remarquable, racine évidente, ou division par $(x - a)$ .
Simplifier la fraction par $(x - a)$ , ce qui est légitime car $x \neq a$ .
Calculer la limite de l'expression simplifiée par substitution.

Exemple

Calculer $\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 5 x + 6}$ .

En $x = 3$ , numérateur et dénominateur s'annulent : forme $\frac{0}{0}$ .
Numérateur : $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
Dénominateur : $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2)$ , car les racines du trinôme sont $2$ et $3$ .
Après simplification par $(x - 3)$ : $\frac{x + 3}{x - 2}$ , dont la limite en $3$ vaut $\frac{6}{1} = 6$ .

Lever une indétermination avec une racine carrée

Quand une racine carrée produit une forme $\infty - \infty$ ou $\frac{0}{0}$ , on multiplie par la quantité conjuguée : l'identité $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ fait alors disparaître la racine.

Exemple

Calculer $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x)$ .

C'est une forme $\infty - \infty$ . On multiplie et divise par la quantité conjuguée $\sqrt{x^{2} + x} + x$ .
Le numérateur devient $(x^{2} + x) - x^{2} = x$ .
L'expression vaut donc $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$ . Pour $x > 0$ , on factorise $x$ au dénominateur : $\sqrt{x^{2} + x} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ .
On obtient $\frac{x}{x (\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$ , dont la limite vaut $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ .

\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}

L'astuce de la quantité conjuguée, sous sa forme la plus utile.

Limites et asymptotes

Propriété

Les trois types d'asymptotes

Si $\lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$ , la droite $x = a$ est asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = ℓ$ , la droite $y = ℓ$ est asymptote horizontale. Si $\lim_{x \to \pm \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ , la droite $y = a x + b$ est asymptote oblique.

Remarque

Pour une fraction rationnelle dont le degré du numérateur dépasse d'exactement $1$ celui du dénominateur, l'asymptote oblique s'obtient par division euclidienne : le quotient donne $a x + b$ , le reste tend vers $0$ .

Propriété

Théorème de comparaison

Si $f (x) \geq g (x)$ au voisinage de $+ \infty$ et si $\lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$ , alors $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ . De même, si $∣ f (x) - ℓ ∣ \leq u (x)$ avec $\lim u (x) = 0$ , alors $\lim f (x) = ℓ$ : c'est le théorème des gendarmes.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une limite en mathématiques ?

La limite d'une fonction

f

en un point

a

est la valeur dont

f (x)

se rapproche autant qu'on le souhaite lorsque

x

se rapproche de

a

. On note

\lim_{x \to a} f (x) = ℓ

. La fonction n'a pas besoin d'être définie en

a

pour y admettre une limite.

Quelles sont les quatre formes indéterminées ?

Ce sont

\infty - \infty

\frac{\infty}{\infty}

0 \times \infty

\frac{0}{0}

. Dans ces quatre cas, les théorèmes d'opérations sur les limites ne permettent pas de conclure : il faut transformer l'expression, par factorisation, quantité conjuguée ou mise en facteur du terme dominant.

Comment lever une forme indéterminée 0/0 ?

On factorise le numérateur et le dénominateur par

(x - a)

, où

a

est la valeur qui les annule tous les deux, puis on simplifie. La simplification est licite car on calcule la limite pour

x \neq a

Comment trouver une asymptote oblique ?

Pour une fraction rationnelle, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur :

f (x) = a x + b + \frac{R (x)}{D (x)}

. Si le reste tend vers

0

en l'infini, alors la droite

y = a x + b

est asymptote oblique à la courbe.

Pourquoi la règle du terme de plus haut degré ne marche-t-elle qu'en l'infini ?

Parce qu'elle repose sur le fait que le terme dominant devient négligeable devant les autres seulement lorsque

∣ x ∣

devient très grand. En un point fini, tous les termes ont un poids comparable et il faut factoriser.

Exercices corrigés

4 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Calculer : a. $\lim_{x \to + \infty} (- 2 x^{3} + 5 x^{2} - 1)$  ; b. $\lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 3}{x^{2} - 1}$  ; c. $\lim_{x \to + \infty} \frac{5 x^{3} + 2}{x^{2} + x}$ .

Correction

a. Le polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré $- 2 x^{3}$ . Comme $x^{3} \to + \infty$ , la limite vaut $- \infty$ .

b. Le quotient des termes dominants vaut $\frac{4 x}{x^{2}} = \frac{4}{x}$ , dont la limite en $- \infty$ est $0$ . Donc la limite cherchée est $0$ .

c. Quotient des termes dominants : $\frac{5 x^{3}}{x^{2}} = 5 x$ , dont la limite en $+ \infty$ vaut $+ \infty$ . La limite cherchée est donc $+ \infty$ .

Exercice 2

Moyen

Calculer : a. $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 3 x + 2}$  ; b. $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .

Correction

a. En $- 1$ , les deux membres s'annulent. On factorise : $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ et $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ .

\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{x - 1}{x + 2} \to_{x \to - 1}^{} \frac{- 2}{1} = - 2

b. Forme $\frac{0}{0}$ avec une racine : on multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{x} + 2$ .

\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{x - 4}{(x - 4) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}

La limite quand $x \to 4$ vaut donc $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .

Exercice 3

Moyen

Soit $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ . Déterminer les limites de $f$ en $3^{-}$ , en $3^{+}$ , puis en $\pm \infty$ . En déduire les asymptotes de la courbe.

Correction

Quand $x \to 3$ , le numérateur tend vers $7$ , qui est strictement positif. Le signe de $f (x)$ est donc celui de $x - 3$ .

Si $x \to 3^{+}$ : $x - 3 \to 0^{+}$ , donc $f (x) \to + \infty$ . Si $x \to 3^{-}$ : $x - 3 \to 0^{-}$ , donc $f (x) \to - \infty$ .

En $\pm \infty$ , le quotient des termes dominants vaut $\frac{2 x}{x} = 2$ . Donc $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 2$ .

La courbe admet donc la droite d'équation $x = 3$ comme asymptote verticale et la droite d'équation $y = 2$ comme asymptote horizontale en $+ \infty$ et en $- \infty$ .

Exercice 4

Difficile

Soit $f$ définie sur $R ∖ {1}$ par $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{x - 1}$ , de courbe $(C)$ .

Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que $f (x) = a x + b + \frac{c}{x - 1}$ .
En déduire que $(C)$ admet une asymptote oblique $(Δ)$ dont on donnera l'équation.
Étudier la position relative de $(C)$ et de $(Δ)$ .

Correction

1. On effectue la division euclidienne de $x^{2} + 2 x - 1$ par $x - 1$ . On écrit $x^{2} + 2 x - 1 = (x - 1) (x + 3) + 2$ .

f (x) = x + 3 + \frac{2}{x - 1}

On a donc $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 2$ .

2. Posons $(Δ) : y = x + 3$ . Alors $f (x) - (x + 3) = \frac{2}{x - 1}$ , dont la limite en $+ \infty$ comme en $- \infty$ vaut $0$ .

La droite $(Δ)$ d'équation $y = x + 3$ est donc asymptote oblique à $(C)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ .

3. La position relative est donnée par le signe de $f (x) - (x + 3) = \frac{2}{x - 1}$ , qui est celui de $x - 1$ puisque $2 > 0$ .

Pour $x > 1$ , la différence est positive : $(C)$ est au-dessus de $(Δ)$ . Pour $x < 1$ , elle est négative : $(C)$ est en dessous de $(Δ)$ .

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Limite en l'infini

Limite en un point

Les quatre formes indéterminées

Lever une indétermination de la forme 0/0

Lever une indétermination avec une racine carrée

Limites et asymptotes

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une limite en mathématiques ?

Quelles sont les quatre formes indéterminées ?

Comment lever une forme indéterminée 0/0 ?

Comment trouver une asymptote oblique ?

Pourquoi la règle du terme de plus haut degré ne marche-t-elle qu'en l'infini ?

Exercices corrigés

Qu'est-ce qu'une limite en mathématiques ?

Quelles sont les quatre formes indéterminées ?

Comment lever une forme indéterminée 0/0 ?

Comment trouver une asymptote oblique ?

Pourquoi la règle du terme de plus haut degré ne marche-t-elle qu'en l'infini ?