Est-ce que √(a + b) est égal à √(a) + √(b) ?

Non. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Par exemple √(9 + 16) = √(25) = 5, alors que √(9) + √(16) = 3 + 4 = 7. Les propriétés ne valent que pour le produit et le quotient.

Les racines carrées

Q: Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

La racine carrée d'un nombre positif a est l'unique nombre positif dont le carré vaut a. On la note √(a). Par exemple √(49) = 7 car 7² = 49 et 7 est positif.

La racine carrée d'un nombre positif $a$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ . On la note $\sqrt{a}$ . Cette notion prolonge le calcul numérique au-delà des fractions et devient l'outil indispensable dès qu'un théorème comme celui de Pythagore fait apparaître un carré.

Mis à jour le 14 août 2026

La racine carrée de l'aire d'un carré donne la longueur de son côté. Programme de 3AC, semestre 1.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Comprendre la définition de la racine carrée et son domaine de définition
Utiliser les propriétés du produit et du quotient de racines carrées
Simplifier une écriture contenant une racine carrée
Rendre rationnel le dénominateur d'un quotient

PrérequisLes carrés parfaits de 1 à 15 · Les puissances et la notation $a^{2}$ · Le calcul sur les fractions

Définition de la racine carrée

Définition

Racine carrée : Soit $a$ un nombre positif. La racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est l'unique nombre positif dont le carré est égal à $a$ .

(\sqrt{a})^{2} = a et \sqrt{a^{2}} = ∣ a ∣

Les deux égalités fondamentales. La valeur absolue est nécessaire car une racine carrée n'est jamais négative.

Attention

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels : $\sqrt{- 9}$ n'a pas de sens en 3AC. Et $\sqrt{a}$ est toujours positif ou nul, jamais négatif.

Exemple

Calculer $\sqrt{49}$ , $\sqrt{0,25}$ et $\sqrt{(- 5)^{2}}$ .

$\sqrt{49} = 7$ car $7^{2} = 49$ et $7 > 0$ .
$\sqrt{0,25} = 0,5$ car ${0,5}^{2} = 0,25$ .
$\sqrt{(- 5)^{2}} = \sqrt{25} = 5$ , et non $- 5$ : la racine carrée reste positive.

La racine carrée de l'aire d'un carré donne la longueur de son côté. Programme de 3AC, semestre 1.

Les carrés parfaits à connaître

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$n^{2}$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

Connaître ces dix carrés par cœur rend la plupart des simplifications immédiates.

Remarque

Il est utile d'y ajouter $11^{2} = 121$ , $12^{2} = 144$ , $13^{2} = 169$ , $14^{2} = 196$ et $15^{2} = 225$ .

Les propriétés du produit et du quotient

Propriété

Racine carrée d'un produit

Pour tous nombres positifs $a$ et $b$ : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ .

Propriété

Racine carrée d'un quotient

Pour tout nombre positif $a$ et tout nombre strictement positif $b$ : $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .

Attention

Il n'existe aucune propriété analogue pour l'addition. En général $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ : par exemple $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .

Comment simplifier une racine carrée ?

Méthode

Chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
Écrire le nombre sous la forme d'un produit : carré parfait × reste.
Séparer la racine du produit en un produit de racines.
Extraire la racine du carré parfait.

Simplification

Simplifier $\sqrt{72}$ .

Le plus grand carré parfait divisant $72$ est $36$ , car $72 = 36 \times 2$ .
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}$ .
$\sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$ .

Une écriture simplifiée est celle où le nombre sous la racine ne contient plus aucun carré parfait autre que $1$ . Elle permet ensuite de réduire des sommes : deux termes ne s'additionnent que s'ils ont la même partie sous la racine.

Réduire une somme

Écrire $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$ sous la forme $a \sqrt{2}$ .

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5 \sqrt{2}$ .
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}$ .
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2 \sqrt{2}$ .
La somme vaut $5 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = (5 + 3 - 2) \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ .

Rendre rationnel un dénominateur

Par convention, on n'écrit pas une racine carrée au dénominateur d'un quotient. On la fait remonter au numérateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par une même quantité bien choisie.

Cas simple

Rendre rationnel le dénominateur de $\frac{3}{\sqrt{5}}$ .

On multiplie haut et bas par $\sqrt{5}$ : $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}$ .
Or $\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$ .
Donc $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

Avec une somme au dénominateur

Rendre rationnel le dénominateur de $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ .

On multiplie haut et bas par l'expression conjuguée $\sqrt{3} - 1$ .
Au dénominateur, l'identité $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ donne $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2$ .
Donc $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ .

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

La racine carrée d'un nombre positif

a

est l'unique nombre positif dont le carré vaut

a

. On la note

\sqrt{a}

. Par exemple

\sqrt{49} = 7

car

7^{2} = 49

7

est positif.

Peut-on calculer la racine carrée d'un nombre négatif ?

Non, pas dans l'ensemble des nombres réels étudié au collège. Un carré est toujours positif, donc aucun nombre réel n'a un carré négatif :

\sqrt{- 4}

n'existe pas en 3AC.

Est-ce que $\sqrt{a + b}$ est égal à $\sqrt{a} + \sqrt{b}$  ?

Non. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Par exemple

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

, alors que

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7

. Les propriétés ne valent que pour le produit et le quotient.

Comment simplifier une racine carrée comme $\sqrt{72}$  ?

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre. Ici

72 = 36 \times 2

, donc

\sqrt{72} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}

Pourquoi faut-il rendre rationnel un dénominateur ?

C'est une convention d'écriture qui rend les résultats comparables et les calculs suivants plus simples. On multiplie le numérateur et le dénominateur par

\sqrt{b}

, ou par l'expression conjuguée lorsque le dénominateur est une somme.

Exercices corrigés

4 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Calculer sans calculatrice : a. $\sqrt{144}$  ; b. $\sqrt{\frac{16}{81}}$  ; c. $(\sqrt{7})^{2}$  ; d. $\sqrt{(- 11)^{2}}$ .

Correction

a. $\sqrt{144} = 12$ car $12^{2} = 144$ .

b. $\sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}} = \frac{4}{9}$ .

c. $(\sqrt{7})^{2} = 7$ , par définition de la racine carrée.

d. $\sqrt{(- 11)^{2}} = \sqrt{121} = 11$ . Le résultat est $∣ - 11 ∣ = 11$ , et non $- 11$ .

Exercice 2

Moyen

Écrire sous la forme $a \sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible : a. $\sqrt{98}$  ; b. $\sqrt{75}$  ; c. $2 \sqrt{27} - 4 \sqrt{12} + \sqrt{48}$ .

Correction

a. $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7 \sqrt{2}$ .

b. $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5 \sqrt{3}$ .

c. On simplifie chaque terme : $\sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ , $\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ et $\sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ .

2 \times 3 \sqrt{3} - 4 \times 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}

Exercice 3

Moyen

Écrire sans racine carrée au dénominateur : a. $\frac{5}{\sqrt{2}}$  ; b. $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$  ; c. $\frac{4}{\sqrt{5} - 1}$ .

Correction

a. $\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ en multipliant haut et bas par $\sqrt{2}$ .

b. $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .

c. On multiplie par l'expression conjuguée $\sqrt{5} + 1$ . Le dénominateur devient $(\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4$ .

\frac{4}{\sqrt{5} - 1} = \frac{4 (\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1

Exercice 4

Difficile

$A B C$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $A B = 3 \sqrt{2}$ cm et $A C = \sqrt{18}$ cm.

Comparer $A B$ et $A C$ .
Calculer la valeur exacte de $B C$ , simplifiée au maximum.
En déduire la nature précise du triangle $A B C$ .

Correction

1. $A C = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}$ . Donc $A B = A C$ : les deux côtés ont la même longueur.

2. Le triangle est rectangle en $A$ , donc d'après le théorème de Pythagore $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .

B C^{2} = (3 \sqrt{2})^{2} + (3 \sqrt{2})^{2} = 18 + 18 = 36

Comme une longueur est positive, $B C = \sqrt{36} = 6$ cm. La valeur exacte est donc un nombre entier.

3. Le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ et possède deux côtés de même longueur : c'est un triangle rectangle isocèle en $A$ .

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Définition de la racine carrée

Les carrés parfaits à connaître

Les propriétés du produit et du quotient

Comment simplifier une racine carrée ?

Rendre rationnel un dénominateur

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

Peut-on calculer la racine carrée d'un nombre négatif ?

Est-ce que a+ba+b​ est égal à a+ba​+b​ ?

Comment simplifier une racine carrée comme 7272​ ?

Pourquoi faut-il rendre rationnel un dénominateur ?

Exercices corrigés

Comment simplifier une racine carrée ?

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

Peut-on calculer la racine carrée d'un nombre négatif ?

Est-ce que $\sqrt{a + b}$ est égal à $\sqrt{a} + \sqrt{b}$  ?

Comment simplifier une racine carrée comme $\sqrt{72}$  ?

Pourquoi faut-il rendre rationnel un dénominateur ?