Pourquoi (a + b)² n'est-il pas égal à a² + b² ?

Parce que le développement de (a + b)(a + b) produit quatre termes : a², ab, ba et b². Les deux termes du milieu s'ajoutent et donnent 2ab, qu'on ne peut pas supprimer. Numériquement, (3 + 4)² = 49 tandis que 3² + 4² = 25.

Développement, factorisation et identités remarquables

Q: Quelles sont les trois identités remarquables ?

Les trois identités remarquables sont (a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b² et (a + b)(a - b) = a² - b². Elles permettent de développer ou de factoriser immédiatement, sans repasser par la double distributivité.

Développer, c'est transformer un produit en somme. Factoriser, c'est faire l'inverse : transformer une somme en produit. Les trois identités remarquables sont les raccourcis qui permettent de passer d'une forme à l'autre sans calcul intermédiaire, et elles sont indispensables pour résoudre les équations de la 3ème année collège.

Mis à jour le 14 août 2026

Le carré d'une somme se décompose en un carré de côté a, un carré de côté b et deux rectangles a×b. Programme de 3AC, semestre 1.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Développer une expression à l'aide de la distributivité et des identités remarquables
Reconnaître la forme d'une identité remarquable dans une expression donnée
Factoriser en repérant un facteur commun ou une identité remarquable
Utiliser la factorisation pour résoudre une équation-produit

PrérequisLa distributivité simple et double vue en 2AC · Le calcul sur les nombres relatifs · Les puissances et la notation $a^{2}$

Développer et factoriser

Définition

Développer : Développer une expression, c'est l'écrire sous forme de somme de termes, en supprimant les parenthèses.

Définition

Factoriser : Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme de produit de facteurs.

Propriété

Double distributivité

Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ et $d$ : $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ .

Exemple

Développer $(x + 3) (2 x - 5)$ .

$(x + 3) (2 x - 5) = x \times 2 x + x \times (- 5) + 3 \times 2 x + 3 \times (- 5)$
$= 2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15$
$= 2 x^{2} + x - 15$

Les trois identités remarquables

Trois produits reviennent si souvent qu'il vaut mieux connaître leur résultat par cœur plutôt que de refaire la double distributivité à chaque fois. Ce sont les identités remarquables.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Première identité remarquable : le carré d'une somme.

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Deuxième identité remarquable : le carré d'une différence.

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Troisième identité remarquable : le produit d'une somme par une différence.

Attention

L'erreur la plus répandue est d'écrire $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ . C'est faux : il manque le double produit $2 a b$ . Pour s'en convaincre, $(3 + 4)^{2} = 49$ alors que $3^{2} + 4^{2} = 25$ .

Le carré d'une somme se décompose en un carré de côté a, un carré de côté b et deux rectangles a×b. Programme de 3AC, semestre 1.

Comment développer avec une identité remarquable ?

Méthode

Repérer la forme de l'expression : un carré de somme, un carré de différence, ou un produit somme × différence.
Identifier clairement qui est $a$ et qui est $b$ .
Écrire l'identité correspondante en remplaçant $a$ et $b$ .
Effectuer les calculs de puissances et de produits, puis réduire.

Trois développements types

Développer $(2 x + 5)^{2}$ , $(3 x - 4)^{2}$ et $(x + 7) (x - 7)$ .

$(2 x + 5)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \times 2 x \times 5 + 5^{2} = 4 x^{2} + 20 x + 25$
$(3 x - 4)^{2} = (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 4 + 4^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$
$(x + 7) (x - 7) = x^{2} - 7^{2} = x^{2} - 49$

Comment factoriser une expression ?

Face à une expression à factoriser, on cherche toujours dans le même ordre : d'abord un facteur commun, puis une identité remarquable.

Méthode

Ordre de recherche

Y a-t-il un facteur commun à tous les termes ? Si oui, le mettre en facteur.
L'expression est-elle une différence de deux carrés $a^{2} - b^{2}$  ? Si oui, écrire $(a + b) (a - b)$ .
L'expression a-t-elle la forme $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$  ? Si oui, écrire $(a \pm b)^{2}$ .
Vérifier en développant le résultat obtenu : on doit retrouver l'expression de départ.

Factoriser une différence de carrés

Factoriser $9 x^{2} - 25$ .

On reconnaît une différence de deux carrés : $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ et $25 = 5^{2}$ .
Donc $9 x^{2} - 25 = (3 x)^{2} - 5^{2}$ .
En appliquant la troisième identité : $9 x^{2} - 25 = (3 x + 5) (3 x - 5)$ .

Factoriser un carré parfait

Factoriser $x^{2} - 12 x + 36$ .

On teste la forme $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 6$ , puisque $36 = 6^{2}$ .
Le double produit vaut alors $2 \times x \times 6 = 12 x$ : cela correspond bien au terme du milieu.
Donc $x^{2} - 12 x + 36 = (x - 6)^{2}$ .

Remarque

Un facteur commun n'est pas toujours un nombre ou une lettre isolée : dans $(x - 1) (x + 3) + (x - 1) (2 x)$ , le facteur commun est la parenthèse $(x - 1)$ tout entière.

À quoi sert la factorisation ?

Propriété

Équation-produit

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Autrement dit : $A \times B = 0 ⟺ A = 0$ ou $B = 0$ .

Résoudre grâce à la factorisation

Résoudre l'équation $x^{2} - 49 = 0$ .

On factorise le membre de gauche : $x^{2} - 49 = (x + 7) (x - 7)$ .
L'équation devient $(x + 7) (x - 7) = 0$ .
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : $x + 7 = 0$ ou $x - 7 = 0$ .
Les solutions sont donc $x = - 7$ et $x = 7$ .

Questions fréquentes

Quelles sont les trois identités remarquables ?

Les trois identités remarquables sont

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

. Elles permettent de développer ou de factoriser immédiatement, sans repasser par la double distributivité.

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en somme, en supprimant les parenthèses. Factoriser fait l'inverse : transformer une somme en produit, en faisant apparaître des parenthèses. Les deux opérations sont réciproques l'une de l'autre.

Pourquoi $(a + b)^{2}$ n'est-il pas égal à $a^{2} + b^{2}$  ?

Parce que le développement de

(a + b) (a + b)

produit quatre termes :

a^{2}

a b

b a

b^{2}

. Les deux termes du milieu s'ajoutent et donnent

2 a b

, qu'on ne peut pas supprimer. Numériquement,

(3 + 4)^{2} = 49

tandis que

3^{2} + 4^{2} = 25

Comment savoir s'il faut factoriser ou développer ?

Si l'énoncé demande de résoudre une équation dont un membre est nul, il faut factoriser afin d'obtenir une équation-produit. S'il demande de réduire, de comparer ou de calculer une valeur numérique, il faut généralement développer.

Comment reconnaître qu'une expression est une différence de deux carrés ?

L'expression doit être une soustraction de deux termes, chacun étant un carré parfait : un nombre au carré (

25 = 5^{2}

), une lettre au carré (

x^{2}

) ou un produit au carré (

4 x^{2} = (2 x)^{2}

). Dans ce cas elle se factorise en

(a + b) (a - b)

Exercices corrigés

4 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Développer et réduire : a. $(x + 4)^{2}$  ; b. $(2 x - 3)^{2}$  ; c. $(5 + y) (5 - y)$ .

Correction

a. $(x + 4)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 4 + 4^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ .

b. $(2 x - 3)^{2} = (2 x)^{2} - 2 \times 2 x \times 3 + 3^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

c. $(5 + y) (5 - y) = 5^{2} - y^{2} = 25 - y^{2}$ .

Exercice 2

Moyen

Factoriser : a. $4 x^{2} - 81$  ; b. $x^{2} + 10 x + 25$  ; c. $3 x (x - 2) + 5 (x - 2)$ .

Correction

a. $4 x^{2} - 81 = (2 x)^{2} - 9^{2} = (2 x + 9) (2 x - 9)$ : différence de deux carrés.

b. $x^{2} + 10 x + 25 = x^{2} + 2 \times x \times 5 + 5^{2} = (x + 5)^{2}$ : carré d'une somme.

c. Le facteur commun est $(x - 2)$ : $3 x (x - 2) + 5 (x - 2) = (x - 2) (3 x + 5)$ .

Exercice 3

Moyen

En utilisant une identité remarquable, calculer sans calculatrice : a. $101^{2}$  ; b. $99 \times 101$  ; c. $203^{2} - 197^{2}$ .

Correction

a. $101^{2} = (100 + 1)^{2} = 100^{2} + 2 \times 100 \times 1 + 1^{2} = 10 000 + 200 + 1 = 10 201$ .

b. $99 \times 101 = (100 - 1) (100 + 1) = 100^{2} - 1^{2} = 10 000 - 1 = 9 999$ .

c. $203^{2} - 197^{2} = (203 + 197) (203 - 197) = 400 \times 6 = 2 400$ .

Exercice 4

Difficile

On considère l'expression $E = (2 x - 1)^{2} - 9$ .

Développer et réduire $E$ .
Factoriser $E$ .
Résoudre l'équation $E = 0$ .

Correction

1. $(2 x - 1)^{2} - 9 = 4 x^{2} - 4 x + 1 - 9 = 4 x^{2} - 4 x - 8$ .

2. On reconnaît une différence de deux carrés, avec $a = 2 x - 1$ et $b = 3$ puisque $9 = 3^{2}$ :

E = (2 x - 1)^{2} - 3^{2} = [(2 x - 1) + 3] [(2 x - 1) - 3] = (2 x + 2) (2 x - 4)

On peut encore mettre $2$ en facteur dans chaque parenthèse : $E = 4 (x + 1) (x - 2)$ .

3. $E = 0$ équivaut à $4 (x + 1) (x - 2) = 0$ . Comme $4 \neq 0$ , on a $x + 1 = 0$ ou $x - 2 = 0$ .

Les solutions de l'équation sont $x = - 1$ et $x = 2$ .

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Développer et factoriser

Les trois identités remarquables

Comment développer avec une identité remarquable ?

Comment factoriser une expression ?

À quoi sert la factorisation ?

Questions fréquentes

Quelles sont les trois identités remarquables ?

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Pourquoi (a+b)2(a+b)2 n'est-il pas égal à a2+b2a2+b2 ?

Comment savoir s'il faut factoriser ou développer ?

Comment reconnaître qu'une expression est une différence de deux carrés ?

Exercices corrigés

Comment développer avec une identité remarquable ?

Comment factoriser une expression ?

À quoi sert la factorisation ?

Quelles sont les trois identités remarquables ?

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Pourquoi $(a + b)^{2}$ n'est-il pas égal à $a^{2} + b^{2}$  ?

Comment savoir s'il faut factoriser ou développer ?

Comment reconnaître qu'une expression est une différence de deux carrés ?