Les fonctions linéaires et les fonctions affines

Q: Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?

Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax et sa droite passe par l'origine du repère. Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b et sa droite coupe l'axe des ordonnées en b. Toute fonction linéaire est affine (avec b = 0), mais une fonction affine n'est linéaire que si b = 0.

Q: Comment calculer le coefficient directeur d'une fonction affine ?

À partir de deux points (x₁ ; y₁) et (x₂ ; y₂) de la droite, le coefficient directeur vaut a = y₂ - y₁/x₂ - x₁. Il correspond à la variation de f(x) lorsque x augmente de 1.

Q: Qu'est-ce que l'ordonnée à l'origine ?

C'est le nombre b dans l'écriture f(x) = ax + b. Il correspond à l'image de 0, donc au point où la droite coupe l'axe des ordonnées, de coordonnées (0 ; b).

Q: Une fonction affine représente-t-elle une proportionnalité ?

Seulement si b = 0, c'est-à-dire si la fonction est linéaire. Dès que b ≠ 0, il existe une valeur fixe ajoutée indépendamment de x, ce qui rompt la proportionnalité.

Q: Comment savoir si une fonction affine est croissante ?

Il suffit de regarder le signe du coefficient directeur a. Si a > 0 la fonction est croissante, si a < 0 elle est décroissante, et si a = 0 elle est constante.

Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f (x) = a x$ : elle traduit exactement une situation de proportionnalité. Une fonction affine est de la forme $f (x) = a x + b$ : elle ajoute une valeur de départ. Leurs représentations graphiques sont toujours des droites, ce qui en fait le premier pont entre le calcul et la géométrie.

Mis à jour le 14 août 2026

La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite ; celle d'une fonction linéaire passe en plus par l'origine. Programme de 3AC, semestre 2.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Distinguer une fonction linéaire d'une fonction affine
Calculer une image et un antécédent
Déterminer le coefficient directeur à partir de deux points
Représenter graphiquement une fonction affine
Reconnaître une situation de proportionnalité dans un problème concret

PrérequisLa proportionnalité et le coefficient de proportionnalité · Le repère du plan et les coordonnées d'un point · La résolution d'une équation du premier degré

La fonction linéaire

Définition

Fonction linéaire : Soit $a$ un nombre donné. La fonction qui à tout nombre $x$ associe le nombre $a x$ est appelée fonction linéaire de coefficient $a$ . On la note $f : x \mapsto a x$ , ou $f (x) = a x$ .

Une fonction linéaire est la traduction mathématique d'une situation de proportionnalité : le coefficient $a$ est le coefficient de proportionnalité. Si $x$ est multiplié par $3$ , alors $f (x)$ est lui aussi multiplié par $3$ .

Exemple

Un kilogramme d'oranges coûte $12$ dirhams. Exprimer le prix payé en fonction de la masse achetée.

Si $x$ désigne la masse en kilogrammes, le prix vaut $12 x$ dirhams.
Le prix est donc donné par la fonction linéaire $p (x) = 12 x$ , de coefficient $12$ .
Pour $3,5$ kg : $p (3,5) = 12 \times 3,5 = 42$ dirhams.

Propriété

Représentation graphique d'une fonction linéaire

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire $f (x) = a x$ est la droite passant par l'origine du repère, d'équation $y = a x$ .

La fonction affine

Définition

Fonction affine : Soient $a$ et $b$ deux nombres donnés. La fonction qui à tout nombre $x$ associe $a x + b$ est appelée fonction affine. Le nombre $a$ est le coefficient directeur, le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine.

Si $b = 0$ , la fonction affine $f (x) = a x$ est une fonction linéaire : toute fonction linéaire est donc affine.
Si $a = 0$ , la fonction $f (x) = b$ est constante : sa représentation est une droite horizontale.
Si $a \neq 0$ et $b \neq 0$ , la fonction est affine sans être linéaire, et la situation n'est pas proportionnelle.

Propriété

Représentation graphique d'une fonction affine

La représentation graphique de $f (x) = a x + b$ est la droite d'équation $y = a x + b$ . Elle coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; b)$ .

La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite ; celle d'une fonction linéaire passe en plus par l'origine. Programme de 3AC, semestre 2.

Images et antécédents

Définition

Image et antécédent : Le nombre $f (x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$ . Réciproquement, si $f (x) = y$ , on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .

Méthode

Calculer une image, calculer un antécédent

Pour une image : on remplace $x$ par la valeur donnée et on calcule.
Pour un antécédent : on résout l'équation $a x + b = y$ d'inconnue $x$ .

Exemple

Soit $f (x) = - 3 x + 5$ . Calculer $f (2)$ , puis l'antécédent de $17$ .

$f (2) = - 3 \times 2 + 5 = - 6 + 5 = - 1$ . L'image de $2$ est $- 1$ .
On résout $- 3 x + 5 = 17$ , soit $- 3 x = 12$ , donc $x = - 4$ .
L'antécédent de $17$ par $f$ est $- 4$ .

Déterminer une fonction affine à partir de deux points

Propriété

Formule du coefficient directeur

Si une fonction affine $f$ vérifie $f (x_{1}) = y_{1}$ et $f (x_{2}) = y_{2}$ avec $x_{1} \neq x_{2}$ , alors son coefficient directeur vaut $a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

a = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}

Le coefficient directeur mesure la variation de

f (x)

pour une augmentation de 1 de

x

Retrouver l'expression d'une fonction affine

Une fonction affine $f$ vérifie $f (1) = 5$ et $f (4) = 14$ . Déterminer son expression.

Coefficient directeur : $a = \frac{14 - 5}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$ .
L'expression est donc de la forme $f (x) = 3 x + b$ .
On utilise $f (1) = 5$ : $3 \times 1 + b = 5$ , donc $b = 2$ .
Finalement $f (x) = 3 x + 2$ .

Sens de variation et signe de $a$

Signe de $a$	Sens de variation	Allure de la droite
$a > 0$	$f$ est croissante	la droite monte de gauche à droite
$a = 0$	$f$ est constante	la droite est horizontale
$a < 0$	$f$ est décroissante	la droite descend de gauche à droite

Le signe du coefficient directeur suffit à décrire le comportement de la fonction.

Remarque

Pour tracer la droite d'une fonction affine, deux points suffisent. Le plus rapide : placer $(0; b)$ , puis avancer de $1$ vers la droite et de $a$ vers le haut (ou vers le bas si $a$ est négatif).

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?

Une fonction linéaire s'écrit

f (x) = a x

et sa droite passe par l'origine du repère. Une fonction affine s'écrit

f (x) = a x + b

et sa droite coupe l'axe des ordonnées en

b

. Toute fonction linéaire est affine (avec

b = 0

), mais une fonction affine n'est linéaire que si

b = 0

Comment calculer le coefficient directeur d'une fonction affine ?

À partir de deux points

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

de la droite, le coefficient directeur vaut

a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

. Il correspond à la variation de

f (x)

lorsque

x

augmente de

1

Qu'est-ce que l'ordonnée à l'origine ?

C'est le nombre

b

dans l'écriture

f (x) = a x + b

. Il correspond à l'image de

0

, donc au point où la droite coupe l'axe des ordonnées, de coordonnées

(0; b)

Une fonction affine représente-t-elle une proportionnalité ?

Seulement si

b = 0

, c'est-à-dire si la fonction est linéaire. Dès que

b \neq 0

, il existe une valeur fixe ajoutée indépendamment de

x

, ce qui rompt la proportionnalité.

Comment savoir si une fonction affine est croissante ?

Il suffit de regarder le signe du coefficient directeur

a

. Si

a > 0

la fonction est croissante, si

a < 0

elle est décroissante, et si

a = 0

elle est constante.

Exercices corrigés

4 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

On considère $f (x) = 4 x$ , $g (x) = - 2 x + 7$ et $h (x) = 5$ . Pour chacune : préciser sa nature, puis calculer l'image de $- 3$ .

Correction

$f$ est une fonction linéaire de coefficient $4$ (elle est aussi affine, avec $b = 0$ ). $f (- 3) = 4 \times (- 3) = - 12$ .

$g$ est une fonction affine de coefficient directeur $- 2$ et d'ordonnée à l'origine $7$ . $g (- 3) = - 2 \times (- 3) + 7 = 6 + 7 = 13$ .

$h$ est une fonction constante (affine avec $a = 0$ ). $h (- 3) = 5$ : toutes les images valent $5$ .

Exercice 2

Moyen

Soit $f$ la fonction affine définie par $f (x) = \frac{2}{3} x - 4$ .

Déterminer l'antécédent de $0$ par $f$ .
Déterminer l'antécédent de $- 6$ par $f$ .
En quel point la droite représentative coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

Correction

1. On résout $\frac{2}{3} x - 4 = 0$ , soit $\frac{2}{3} x = 4$ , donc $x = 4 \times \frac{3}{2} = 6$ .

2. On résout $\frac{2}{3} x - 4 = - 6$ , soit $\frac{2}{3} x = - 2$ , donc $x = - 2 \times \frac{3}{2} = - 3$ .

3. L'axe des abscisses correspond à $y = 0$ : la droite le coupe au point d'abscisse trouvée à la question 1, soit au point de coordonnées $(6; 0)$ .

Exercice 3

Moyen

La droite $(d)$ représente une fonction affine $g$ . Elle passe par les points $A (- 2; 7)$ et $B (3; - 3)$ .

Calculer le coefficient directeur de $g$ .
Déterminer l'expression de $g (x)$ .
La fonction $g$ est-elle croissante ou décroissante ?

Correction

1. On applique la formule du coefficient directeur :

a = \frac{- 3 - 7}{3 - (- 2)} = \frac{- 10}{5} = - 2

2. L'expression est de la forme $g (x) = - 2 x + b$ . En utilisant $g (3) = - 3$ : $- 2 \times 3 + b = - 3$ , soit $- 6 + b = - 3$ , donc $b = 3$ .

L'expression cherchée est $g (x) = - 2 x + 3$ .

3. Le coefficient directeur $- 2$ est négatif : la fonction $g$ est décroissante.

Exercice 4

Difficile

Une salle de sport propose deux formules. Formule A : $50$ dirhams par séance, sans abonnement. Formule B : un abonnement de $240$ dirhams, puis $20$ dirhams par séance.

Exprimer, en fonction du nombre $x$ de séances, le coût $A (x)$ de la formule A et le coût $B (x)$ de la formule B. Préciser la nature de chaque fonction.
Calculer le coût des deux formules pour $6$ séances.
À partir de combien de séances la formule B devient-elle plus avantageuse ?

Correction

1. Formule A : $A (x) = 50 x$ . C'est une fonction linéaire de coefficient $50$ : la situation est proportionnelle.

Formule B : $B (x) = 20 x + 240$ . C'est une fonction affine non linéaire : les $240$ dirhams sont payés même sans aucune séance, donc il n'y a pas proportionnalité.

2. $A (6) = 50 \times 6 = 300$ dirhams et $B (6) = 20 \times 6 + 240 = 120 + 240 = 360$ dirhams. Pour $6$ séances, la formule A reste moins chère.

3. La formule B devient plus avantageuse quand $B (x) < A (x)$ , c'est-à-dire :

20 x + 240 < 50 x ⟺ 240 < 30 x ⟺ x > 8

Comme $x$ est un nombre entier de séances, la formule B devient plus avantageuse à partir de 9 séances. Pour exactement $8$ séances, les deux formules coûtent la même chose : $400$ dirhams.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

La fonction linéaire

La fonction affine

Images et antécédents

Déterminer une fonction affine à partir de deux points

Sens de variation et signe de aa

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?

Comment calculer le coefficient directeur d'une fonction affine ?

Qu'est-ce que l'ordonnée à l'origine ?

Une fonction affine représente-t-elle une proportionnalité ?

Comment savoir si une fonction affine est croissante ?

Exercices corrigés

Sens de variation et signe de $a$

Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?

Comment calculer le coefficient directeur d'une fonction affine ?

Qu'est-ce que l'ordonnée à l'origine ?

Une fonction affine représente-t-elle une proportionnalité ?

Comment savoir si une fonction affine est croissante ?